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张家口市，又称“张垣”“武城”，是河北省下辖地级市，地处河北省西北部，京、冀、晋、蒙四省市交界处，是京津冀（环渤海）经济圈和冀晋蒙（外长城）经济圈的交汇点。是冀西北地区的中心城市，连接京津、沟通晋蒙的交通枢纽。 [1]  介于东经113°50′～116°30′，北纬39°30′～42°10′之间。全市南北长289.2千米，东西宽216.2千米，总面积3.68万平方千米。 [2]  截至2019年，张家口市常住人口442.33万人，下辖6区10县。

嘉靖八年（1529年）守备张珍在北城墙开一小门，曰“小北门”，因门小如口，又由张珍开筑，所以称“张家口”。 [3]  春秋战国时北为匈奴与东胡居住地，南部分属燕国、代国。1983年11月，张家口市改为河北省省辖市。 [4]  距今200万年前，远古人类就在此繁衍生息；5000年前，中华民族始祖黄帝、炎帝、蚩尤“邑于涿鹿之阿”，开启了中华文明先河。

张家口市是现行长城最多的地区，素有“长城博物馆”的美称。崇礼、赤城是华北地区最大的天然滑雪场，被誉为东方达沃斯。2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布北京携手河北省张家口获得2022年冬奥会举办权。 [5]  2017年12月，当选“中国十佳冰雪旅游城市”。

2020年，张家口市生产总值实现1600.1亿元，同比增长3.6%。其中，第一产业实现增加值267.7亿元，同比增长3.6%；第二产业实现增加值430.9亿元，同比增长2.2%；第三产业实现增加值901.4亿元，同比增长4.3%。

示例 4.38

假设在图4-18所示情形中已知得流感的人中有70%会发烧，而且得流感的人中有80%会头痛。那么在(4.19)中，“流感”就是事件H，E 就是“发烧”事件，F 是“头痛”，G 是“头痛OR发烧”。已知PROB(E | H )=PROB(发烧 | 流感)=0.7，而PROB(F | H )=PROB(头痛 | 流感)=0.8。

规则(4.19)表示PROB(G | H )至少是0.7和0.8中的较大者。也就是说，如果患了流感，那么发烧或头痛或两种情况都有的概率至少是0.8。规则(4.19)还表明PROB(G | H )至多是

PROB(E | H )+PROB(F | H )

或者说是0.7+0.8=1.5。不过这一上界是没有意义的，因为事件的概率不可能大于1，所以1才是PROB(G | H )更佳的上界。

4.11.2　AND结合的事件的概率

假设已知“发烧”的概率是0.02，而“头痛”的概率是0.03。那么“发烧AND头痛”的概率是多少？也就是说，一个人同时有发烧和头痛症状的概率是多少？就像之前两个事件OR结合的情况那样，没办法给出精确的值，不过有时候可以为两个事件的合取（conjunction）或者说逻辑AND（逻辑“与”）的概率给出一些限制。

在图4-18的情况下，是要问f+g 可以有多大。我们已经得知，如果用OR关系连接事件，那么当两个事件中较小者（在该情况下是“发烧”事件）完全被另一个事件包含时，f+g 会有最大值。那么，“发烧”事件的概率都集中在f+g 中，而且有f+g=0.02，也就是“发烧”事件单独的概率。一般而言，两个事件AND结合的概率不会超过较小者的概率。

那么f+g 可以有多小？显然，没什么情况能阻止“发烧”和“头痛”完全没交集的情况出现，所以f+g 是可以为0的。也就是说，可能没人同时具有发烧和头痛的症状。

不过上述想法并不具有一般性。假设事件“发烧”和“头痛”并不是0.02和0.03这样的微小概率，而是分别有着60%和70%的概率。那么还可能说没人同时具有发烧和头痛的症状吗？如果在这种情况下还有f+g=0，那么就有e+h=0.6，而且c+d=0.7。这样一来e+h+c+d=1.3，也就是说，图4-18中的事件e+h+c+d的概率就大于1了，而这是不可能的。

显然，两个事件的AND连接的大小不能比两事件概率之和减1还小。否则，相同的两个事件的OR连接的概率就会大于1。这一结论是在乘积法则中总结出来的。如果E 和F 是两个事件，而

G 事件是指E 和F 同时发生，那么

PROB(E )+PROB(F )-1≤PROB(G )≤min(PROB(E )，PROB(F ))

与求和规则一样，相同的概念也适用于另一事件H 条件下的情况。也就是有

PROB(E | H )+PROB(F | H )-1≤PROB(G | H )≤min(PROB(E | H ),PROB(F | H ))　　　(4.20)

示例 4.39

再来看看图4-18。假设患流感的人中有70%会发烧，而且有80%会头痛。那么有多少人同时有发烧和头痛症状？根据(4.20)，其中H 为“流感”事件，那么在某人患流感的条件下，同时有发烧和头痛症状的概率至少是0.7+0.8-1=0.5，至多是min(0.7,0.8)=0.7。

涉及若干事件的规则总结

下面的内容对本节介绍的规则和4.10节中有关独立事件的规则进行了总结。假设事件E 和F 的概率分别为p 和q，那么有下列结论。

• 事件E-or-F（即E 和F 至少有一个发生）的概率至少是max(p,q)，且至多是p+q（或者如果p+q>1，就是1）。

• 事件E-and-F（即E 和F 同时发生）的概率至多是min(p,q)，且至少是p+q-1（或者如果p+q<1，就是0）。

• 如果E 和F 是相互独立的事件，那么E-and-F 的概率就是pq。

• 如果E 和F 是相互独立的事件，那么E-or-F 的概率就是p+q-pq。

最后一个规则可能要费些思量。E-or-F 的概率是p+q减去事件同时发生的那部分空间，因为在将E 和F 的概率相加时那部分空间被计算了两次。而同在E 和F 中的点正好是事件E-and-F，它的概率就是pq，因此，

PROB(E-or-F )=PROB(E )+PROB(F )-PROB(E-and-F )=p+q-pq

下图展示了这若干事件之间的关系。

4.11.3　处理事件间关系的一些方法

在那些需要计算复合事件（就是若干其他事件的AND或OR结果事件）的概率的应用中，往往不需要知道确切的概率。不过，我们需要确定最可能的情形或者说高概率（即概率接近1）的情形。因此，只要能推断出事件的概率为“高”，复合事件的概率范围就不太可能会带来大问题。

例如，在示例4.35引入的医疗诊断问题中，我们可能永远都没法推断出患者患流感的概率为1。不过只要结合观察到的症状和患者未出现的症状，就能得出他患流感的概率非常高，将患者诊断为流感就应该是很明智的。

然而，我们发现在示例4.35中，基本上说不出同时具有头痛和发烧症状的患者患流感的概率，即便知道每种症状都能强有力地表示患者患了流感，也是如此。真正的推理系统需要更多用来估算概率的信息或规则。作为一个简单的例子，可以明确给出PROB。流感 | 头痛AND发烧。这一概率，这样就可以立刻解决该问题。

不过，如果将E1、E2、…、En这n个事件结合起来得出另一个事件F，那么就需要明确给出2n-1个不同的概率，这些概率分别是在E1、E2、…、En中一个或多个形成的条件下F 的条件概率。

示例 4.40

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