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张家口市，又称“张垣”“武城”，是河北省下辖地级市，地处河北省西北部，京、冀、晋、蒙四省市交界处，是京津冀（环渤海）经济圈和冀晋蒙（外长城）经济圈的交汇点。是冀西北地区的中心城市，连接京津、沟通晋蒙的交通枢纽。 [1]  介于东经113°50′～116°30′，北纬39°30′～42°10′之间。全市南北长289.2千米，东西宽216.2千米，总面积3.68万平方千米。 [2]  截至2019年，张家口市常住人口442.33万人，下辖6区10县。

嘉靖八年（1529年）守备张珍在北城墙开一小门，曰“小北门”，因门小如口，又由张珍开筑，所以称“张家口”。 [3]  春秋战国时北为匈奴与东胡居住地，南部分属燕国、代国。1983年11月，张家口市改为河北省省辖市。 [4]  距今200万年前，远古人类就在此繁衍生息；5000年前，中华民族始祖黄帝、炎帝、蚩尤“邑于涿鹿之阿”，开启了中华文明先河。

张家口市是现行长城最多的地区，素有“长城博物馆”的美称。崇礼、赤城是华北地区最大的天然滑雪场，被誉为东方达沃斯。2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布北京携手河北省张家口获得2022年冬奥会举办权。 [5]  2017年12月，当选“中国十佳冰雪旅游城市”。

2020年，张家口市生产总值实现1600.1亿元，同比增长3.6%。其中，第一产业实现增加值267.7亿元，同比增长3.6%；第二产业实现增加值430.9亿元，同比增长2.2%；第三产业实现增加值901.4亿元，同比增长4.3%。

4.11　概率推理

概率在计算机领域的一项重要应用就是用在事件预测系统的设计中。其中一个例子就是医疗诊断系统。理想状态下，诊断过程包含执行检测或观察症状，直到检测结果或特定症状的出现与否使医生足以确定患者所患的疾病为止。然而，在实际操作中，诊断很少是确定无疑的。诊断出的只是最为可能的疾病，或者是在进行检测和观察症状的实验条件下，条件概率最大的疾病。

现在来考虑一个特别简单的例子，此例就利用了概率的诊断风格。假设已知当患者出现头痛时，他患流感的概率为50%，也就是

PROB(流感 | 头痛)=0.5

在上式中，我们将“流感”解释为“患者得了流感”这一事件的名称。同样，“头痛”是“患者自称头痛”这一事件的名称。

假设还知道当患者的体温达到或超过38.9摄氏度时，该患者得流感的概率是60%。如果将“发烧”作为“患者体温至少为38.9摄氏度”这一事件的名称，就可以将这一结论写为

PROB(流感 | 发烧)=0.6

现在，考虑如下诊断情形。某患者来看医生，表示自己有头痛的症状。医生为他量了体温，发现他的体温是38.9摄氏度，那么该患者患流感的概率是多少？

这种情形如图4-18所示。其中有“流感”、“头痛”和“发烧”3个事件，将该空间分为8个区域，这里分别用a 到h 这些字母表示这些区域。例如，c就是“患者具有头痛症状而且患了流感，但不发烧”这一事件。

图 4-18　“流感”、“头痛”和“发烧”事件

给定的这些概率信息对图4-18中事件的大小提出了一些限制。若不仅用a 到h 表示图4-18中的那些区域，还用这些字母表示对应事件的概率。那么条件概率PROB(流感 | 头痛)=0.5就表示区域c+f 的和是“头痛”事件总大小的一半，或者换种形式就是

c+f =d+g　　　　　　(4.13)

同样，PROB(流感 | 发烧)=0.5这一事实表示e+f 是“发烧”事件总大小的3/5，或者说

　　　　　　(4.14)

现在来解说“在发烧和头痛同时出现的条件下，患流感的概率是多少”这一问题。实情就是，发烧和头痛同时出现的情况表明要么是在区域f 中，要么是在区域g 中。在区域f 中时流感的诊断是正确的，而在区域g 中时则不是。因此，患流感的概率就是f /(f+g)。

那么f /(f+g)的值是多少呢？答案可能有点惊人。显然没有任何关于“流感”事件概率的信息，它可能是0，也可能是1，还可能是0和1之间的任意数字。下面有两个例子，它们分别表示图4-18所示概率空间中的点有可能出现的实际分布情况。

示例 4.35

假设图4-18中与众事件关联的概率分别是：d=f=0.3，a=h=0.2，而其他4个区域的概率都是0。请注意，这些值都满足(4.13)式和(4.14)式给出的限制。在本例中，f /(f+g)=1，也就是说，同时有头痛和发烧症状的患者肯定得了流感。那么图4-18中的概率空间实际就成了图4-19所示的样子。从该图中可看出，只要患者同时有发烧和头痛的情况，那么他肯定患了流感，而且反过来，只要他得了流感，那么肯定有发烧和头痛的症状。5

5虽然也有b≠0的其他例子，也就是患者患了流感却既不发烧也不头痛，但还是有f /(f+g)=1。

图 4-19　当“发烧”和“头痛”确保“流感”时的空间示例

示例 4.36

另一个例子是给定概率c=g=0.2，a=e=0.3，而其他概率则是0。(4.13)式和(4.14)式还是能得到满足。不过，现在f /(f+g)=0。也就是说，如果患者同时有发烧和头痛的情况，那么他肯定不会得流感。这一表述相当可疑，不过(4.13)式和(4.14)式又不能推倒这一表述。这一情形如图4-20所示。

图 4-20　当“发烧”和“头痛”确保不“流感”时的空间示例

4.11.1　OR结合的两个事件的概率

如果没法分辨上述情形中当患者既发烧又头痛时会发生什么，我们可能想知道有没有什么可说的。在更简单的情形下，事件结合时概率的行为其实是有一些限制的。最简单的情况可能就是用析取（disjunction）或者说逻辑OR（逻辑“或”）结合两个事件时的情况了。

示例 4.37

再来看看图4-18。假设已知在任意时间，有2%的人发烧，且有3%的人感到头痛。也就是说，“发烧”事件的大小为0.02，而“头痛”事件的大小为0.03。那么，有发烧或头痛中任一种情况，或是两种情况都有的人所占比例是多大呢？

答案是至少有一种症状的人所占比例在3%到5%之间。要知道为何，用图4-18定义的8个区域来进行一些计算吧。如果“发烧”的概率为0.02，也就是说

e+h+f+g=0.02　　　　　　(4.15)

如果“头痛”的概率是0.03，那么有

c+d+f+g=0.03　　　　　　(4.16)

之前的问题是至少有一种症状的区域为多大，也就是问e+h+f+g+c+d有多大。

如果将(4.15)和(4.16)相加，就得到e+h+2(f+g)+c+d=0.05，或者换种方式表示：

e+h+f+g+c+d=0.05-(f+g)　　　　　　(4.17)

因为“发烧OR头痛”的概率是(4.17)式的左边部分，所以(4.17)式的右边部分0.05-(f+g)也是这一概率。

f+g至少为0，所以“发烧OR头痛”的概率最高是0.05，不可能超过0.05。也就是说，头痛和发烧的症状有可能从不同时出现。那么区域f 和g 都为空，而e+h=0.02，且c+d=0.03。在这种情况下，“发烧OR头痛”的概率是“发烧”的概率与“头痛”的概率之和。

那么f+g 的最大值可能是多少？当然，f+g 既不可能大于整个“发烧”事件，也不可能大于整个“头痛”事件。因为“发烧”更小，所以可知f+g≤0.02。因此，“发烧OR头痛”的最小概率可以是0.05-0.02，也就是0.03。这一结果正好是两个事件中较大的“头痛”事件的概率，这并非巧合。换种方式看，“发烧OR头痛”概率的最小值会在两个事件中较小那个完全被较大那个包含时出现。在本例中，这种情况会在e+h=0，也就是“发烧”完全包含在“头痛”中时出现。在那种情况下，除非有头痛，不然不会发烧，所以“发烧OR头痛”的概率就是“头痛”的概率——0.03。

现在可以将示例4.37中的探索一般化为针对任意两个事件，求和规则如下所示。如果E和F是任意两个事件，而G是E或F有一个发生或两者都发生的事件，那么

max(PROB(E ),PROB(F ))≤PROB(G )≤PROB(E )+PROB(F )　　　　　　(4.18)

也就是说，E-OR-F 的概率是在E 的概率和F 的概率中较大者与二者的和之间。

同样的概念放在任意其他事件H 中也成立。也就是说，(4.18)中的所有概率都可以是某事件H 条件下的条件概率，这样就能给出更具概括性的规则：

max(PROB(E | H ),PROB(F | H ))≤PROB(G | H )≤PROB(E | H )+PROB(F | H )　　　　　　(4.19)

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