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张家口市，又称“张垣”“武城”，是河北省下辖地级市，地处河北省西北部，京、冀、晋、蒙四省市交界处，是京津冀（环渤海）经济圈和冀晋蒙（外长城）经济圈的交汇点。是冀西北地区的中心城市，连接京津、沟通晋蒙的交通枢纽。 [1]  介于东经113°50′～116°30′，北纬39°30′～42°10′之间。全市南北长289.2千米，东西宽216.2千米，总面积3.68万平方千米。 [2]  截至2019年，张家口市常住人口442.33万人，下辖6区10县。

嘉靖八年（1529年）守备张珍在北城墙开一小门，曰“小北门”，因门小如口，又由张珍开筑，所以称“张家口”。 [3]  春秋战国时北为匈奴与东胡居住地，南部分属燕国、代国。1983年11月，张家口市改为河北省省辖市。 [4]  距今200万年前，远古人类就在此繁衍生息；5000年前，中华民族始祖黄帝、炎帝、蚩尤“邑于涿鹿之阿”，开启了中华文明先河。

张家口市是现行长城最多的地区，素有“长城博物馆”的美称。崇礼、赤城是华北地区最大的天然滑雪场，被誉为东方达沃斯。2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布北京携手河北省张家口获得2022年冬奥会举办权。 [5]  2017年12月，当选“中国十佳冰雪旅游城市”。

2020年，张家口市生产总值实现1600.1亿元，同比增长3.6%。其中，第一产业实现增加值267.7亿元，同比增长3.6%；第二产业实现增加值430.9亿元，同比增长2.2%；第三产业实现增加值901.4亿元，同比增长4.3%。

对n=2的情况，比如示例4.35的情况，就只需要给出3个条件概率。因此，正如之前所做的那样，我们可以断言PROB(流感 | 发烧)=0.6且PROB(流感 | 头痛)=.5。然后，可以加上诸如PROB(流感 | 头痛AND发烧)=0.9这样的信息。

要避免指定指数数量条件概率的情况出现，有很多种限制可帮助我们推断或估计概率。一项简单的限定就是声明某一事件表明另一事件，也就是说，第一个事件是第二个事件的子集。通常，这样的信息能提供一些有用的东西。

示例 4.41

假设我们声明只要患者患流感，他一定会头痛。那么按图4-18来看，可以说区域b和e是空的。同时假设只要患者患流感，他一定会发烧。那么图4-18中的区域c也是空的。图4-21就表示依据这两项假设简化后的图4-18。

图 4-21　这里，“流感”发生就表示“头痛”和“感冒”都发生

在b、c 和e 都为0的条件下，假设PROB(流感 | 头痛)=0.5且PROB(流感 | 发烧)=0.6，就可以将(4.13)式和(4.14)式改写为

f = d + g

因为d 和h 都至少为0，所以第一个等式说明f ≥g，而第二式说明f ≥3g/2。

再来看看同时有发烧和头痛症状的条件下患流感的概率，即PROB(流感 | 头痛AND发烧)。该条件概率在图4-18或图4-21中都是f /(f+g)。因为f ≥3g/2，所以可得出f /(f+g)≥0.6的结论。也就是说，同时有头痛和发烧症状的患者患流感的概率至少是0.6。

可以将示例4.41推广到任意3个事件中一个事件意味着另两个事件的情况。假设这些事件分别是E、F 和G，那么

PROB(E |G )=PROB(F |G )=1

也就是说，只要G 发生，E 和F 肯定会发生。进一步假设PROB(E |G )=p，且PROB(G |F )=q，则有

PROB(G |E-and-F )≥max(p,q)　　　　　　(4.21)

如果将图4-21中的“流感”、“发烧”、“头痛”分别解释为G、E、F，就可以看出(4.21)式的推理是成立的。那么有p=f/(f+g+h)且q=f/(f+g+d)。因为d和h至少为0，所以可得知p≤f/(f+g)且q≤f/(f+g)。而f/(f+g)就是PROB(G |E-and-F )。因此，该条件概率大于等于p 和q 二者中的较大者。

4.11.4　习题

1. 将求和规则和乘积法则推广到两个以上的事件上。也就是说，如果E1、E2、…、En这些事件的概率分别是p1、p2、…、pn，那么回答下列问题。

(a) n个事件中至少有一件发生的概率是多少？

(b) n个事件全部发生的概率是多少？

2. * 如果PROB(F |E )=p，那么以下概率分别是多少?

(a) PROB(F |)

(b) PROB(|E )

(c) PROB(|)

回想一下，是E 的互补事件，而是F 的互补事件。

3. 智能建筑控制会试着预测夜晚是否会“冷”，也就是说晚间温度至少比白天温度低20华氏度（约6.7摄氏度）的情况。如果控制系统知道日落前照在它传感器上的阳光指数为高，那么当晚会冷的概率就是60%，因为显然是没有云层，使得热量更容易从地面散逸。而且控制系统还知道，如果日落后一小时内温度的变化至少达到5度（约1.67摄氏度），那么晚上会冷的概率就是70%。将这3个事件分别表示为“冷”、“高”和“降”，并假设PROB(高)=0.4且PROB(降)=0.3。

(a) 给出PROB(高-AND-降)的上限和下限。

(b) 给出PROB(高-OR-降)的上限和下限。

(c) 假设还知道只要晚上会很冷，那么阳光传感器的读数就会高，而且日落后温度至少下降4度，即PROB(高|冷)和PROB(降|冷)都是1。给出PROB(冷|高-AND-降)的上限和下限。

(d) ** 在与(c)小题相同的假设下，给出PROB(冷|高-OR-降)的上限和下限。请注意，本题所需的推理在本节中并未提及。

4. 在很多情况下，比如示例4.35的情况，两个或多个事件会相互强化某一结论。也就是说，我们从直觉上期望不管PROB(流感|头痛)是多少，得知患者有发烧及头痛的症状都能提高流感的概率。假设如果PROB(G|E-AND-F )≥PROB(G |F )就说事件E 强化了结论G 中的事件F。证明：如果事件E 和F 在结论G 中互相强化，那么有(4.21)式成立。也就是说，E-AND-F 条件下G 的概率，不小于E 条件下G 的条件概率与F 条件下G 的条件概率中的较大者。

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