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馆陶县，河北省邯郸市下辖县 [1]  ，地处河北省东南部，以卫运河为界与山东省冠县、临清市毗邻。全县辖4镇4乡277个行政村，总面积456平方公里，其中耕地面积48万亩，总人口36万人。馆陶是千年古县，赵王“在城（今冠县东古城）西北七里陶丘侧置馆，故名馆陶”，自西汉初置县，已有2200多年历史。

馆陶县先后荣获中国蛋鸡之乡、中国黑陶艺术之乡 、中国粮画之乡、中国轻工轴承之乡、中国黄瓜之乡、中国漆画艺术之乡、全国休闲农业和乡村旅游示范县、全国电子商务进农村示范县、全国义务教育发展基本均衡县、全国中医工作先进县、全国群众体育工作先进县等等30余项国家级殊荣。

近年来，馆陶县着力打造了五张名片。一是“最大”，禽蛋交易市场金凤市场，单体全国最大，鸡蛋远销广东、广西等地，2016年交易额达到110亿元；二是“最优”，馆陶是中国著名的黑陶艺术之乡，现代黑陶艺术经过馆陶人的继承和创新，达1000多个品种；三是“最好”，馆陶是中国唯一的黄瓜之乡，馆青牌黄瓜，连续四年荣获中国绿色博览会金奖；四是“最佳”，馆陶有独一无二的富含三价有机铬的黑小麦，可应用于抑制血糖和抗肿瘤等医学领域；五是“最美”，粮画小镇被评为“中国十大最美乡村”，即将由3A级景区升级成为国家4A级旅游景区。 [2-6] 

2020年4月，被河北省体育局评选为“2019年度体育工作最佳县（市、区）”。

示例 5.4

再来看图5-1，节点n3自己就是棵子树，因为n3除了它自己之外没有别的子孙。而节点n2、n5和n6也构成了一棵子树，因为这些节点都是n2的子孙。不过，在没有节点n5的情况下，n2和n6两个节点本身是不能构成子树的。最后，图5-1中的整棵树都是它自己的子树，其中根节点为n1。

5.2.4　叶子节点和内部节点

树中没有子节点的节点就是叶子节点。内部节点是指至少有一个子节点的节点。因此，树中的每个节点要么是叶子节点，要么是内部节点，但不可能同时是这两者。树的根节点通常是内部节点，不过，如果该树只由一个节点组成，那么该节点就既是根节点也是叶子节点。

示例 5.5

在图5-1中，n5、n6、n3和n7都是叶子节点，而n1、n2和n4则是内部节点。

5.2.5　高度和深度

在树中，节点n 的高度是指从n 到叶子节点最长路径的长度，树的高度就是根节点的高度。而节点n 的深度，或者说等级（level），就是从根节点到n 的路径的长度。

示例 5.6

在图5-1中，节点n1的高度为2，n2的高度为1，而叶子节点n3的高度为0。其实，任意叶子节点的高度都为0。图5-1中，树的高度为2。节点n1的深度为0，n2的深度为1，n5的深度为2。

5.2.6　有序树

另外，可以为任意节点的子节点指定从左到右的顺序。例如，图5-1中n1的子节点最左边是n2，然后是n3，再然后是n4。这一从左到右的排列方式可以扩展到为树中的所有节点排列顺序。如果m和n是兄弟节点，而m在n的左边，那么m的子孙全都在n的子孙的左边。

示例 5.7

在图5-1中，根为n2的子树中所有节点（也就是n2、n5和n6）都在根为n3和n4的子树所有节点的左边。因此，n2、n3和n6都在n3、n4和n7的左边。

在树中选择任意两个互不存在祖先关系的节点x 和y。由于有着“在左边”的定义，x 和y 中其中有一个是在另一个的左边。要分辨哪个在哪个左边，就要从x 和y 开始沿着路径向根节点回溯。而在某一点，可能是根节点，也可能是较低的点，这两条路径会在某个如图5-2所示的节点z 相遇。从x 和y 到z 的路径分别要经过两个不同的节点m 和n，可能有m=x且（或）n=y，但一定有m≠n，否则这两条路径在z 以下的某个位置就融合了。

图 5-2　节点x 在节点y 的左边

假设m 在n 的左边。那么因为x 在根为m 的子树中，而y 在根为n 的子树中，所以有x 在y 的左边。同样，如果m 在n 的右边，那么x 也就在y 的右边。

示例 5.8

因为叶子节点不可能是其他叶子节点的子孙节点，所以所有叶子节点的顺序都遵循“从左起”的原则。例如，图5-1中所有叶子节点的顺序是n5、n6、n3、n7。

5.2.7　标号树

标号树（labelled tree）是指树中每个节点都有与之关联的标号或值的树。我们可将标号视为与给定节点相关联的信息。标号可以是很简单的内容，比如一个整数；也可以是复杂的内容，比如整个文档中的文本。我们可以改变节点的标号，但不能改变节点的名称。

如果节点的名称不重要，就可以用节点的标号来表示它。不过，标号并不总是能为节点提供唯一名称，因为若干个节点可能有着同一标号。因此，很多时候在绘制节点时既会标上其标号，也会标上其名称。下面的一些图展示了标号树的概念，并提供了一些示例。

5.2.8　表达式树——一类重要的树

算术表达式可以用标号树表示，而且将表达式直观表示为树往往是非常有意义的。其实，表达式树（expression tree）顾名思义就是以统一的方式指定了表达式的操作数与操作符之间的关联，不论这种关联是表达式中括号的放置需要的，还是所涉及运算符的优先级和结合规则需要的。

回想一下2.6节中对表达式的讨论，特别是示例2.17，我们在该例中给出了涉及常见算术运算符的表达式的递归定义。通过对表达式递归定义的模拟，就可以递归地定义对应的标号树。大致的概念就是通过将运算符应用到较小表达式上以构成更大的表达式，我们会创建标号为该运算符的新节点。该新节点就成为了表示较大表达式的树的根节点，而它的子节点就是表示较小表达式的树的根节点。

例如，可以按照如下方式，定义表示使用二元运算符+、-、×、/及一元运算符-的算术表达式的标号树。

依据。单个原子操作数（比如一个变量、一个整数或一个实数，如2.6节介绍的）是表达式，它的树就是标号为该操作数的一个节点。

图 5-3　(E1(E2)和-E1的表达式树

归纳。 如果E1和E2这两个表达式分别是由树T1和T2表示的，那么表达式(E1+E2)就是由图5-3a所示的树表示的，其根节点标号为+。该根节点有两个子节点，依次分别是树T1和T2的根节点。同样，表达式(E1-E2)、(E1×E2)和(E1/E2)分别有着根节点标号-、×和/，且子树均为T1和T2的表达式树。最后，可以将一元减号运算符应用到表达式E1上。这里引入了标号为-的根节点，而其唯一的子节点是T1的根节点，表示(-E1)的树如图5-3b所示。

示例 5.9

在示例2.17中，我们按照依据和递归规则对一系列6个表达式的递归构建进行过讨论。图2-16列出过的这些表达式分别是：

　 (i)　x　　　 　　　(iv)　(-(x+10))
　(ii)　10　　　　　　(v)　y
　(iii)　(x+10) 　 　　(vi)　(y×(-(x+10)))

表达式(i)、(ii)和(v)都是单个操作数，因此依据规则就说明了图5-4a、图5-4b、图5-4e中的树分别是表示这些表达式的。请注意，这些树都是由一个节点组成的，节点的名称分别为n1、n2和n5，而节点的标号则是圆圈中的操作数。

图 5-4　表达式树的构建

表达式(iii)是对操作数x 和10应用操作符+得到的，所以可以看到图5-4c所示的表示该表达式的树根节点标号为+，而图5-4a和5-4b中树的根节点则作为其子节点。表达式(iv)是对表达式(iii)应用一元的-，所以图5-4d中表示(-(x+10))的树在表示(x+10)的树的基础之上，多了标号为-的根节点。最后，图5-4f所示的是表示表达式(y×(-(x+10)))的树，其根节点标号为×，且其子节点依次为图5-4e和5-4d所示树的根节点。

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