馆陶网站建设【馆陶网络公司】馆陶做网站、馆陶微信公众号开发、馆陶网站设计、馆陶小程序制作

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馆陶县，河北省邯郸市下辖县 [1]  ，地处河北省东南部，以卫运河为界与山东省冠县、临清市毗邻。全县辖4镇4乡277个行政村，总面积456平方公里，其中耕地面积48万亩，总人口36万人。馆陶是千年古县，赵王“在城（今冠县东古城）西北七里陶丘侧置馆，故名馆陶”，自西汉初置县，已有2200多年历史。

馆陶县先后荣获中国蛋鸡之乡、中国黑陶艺术之乡 、中国粮画之乡、中国轻工轴承之乡、中国黄瓜之乡、中国漆画艺术之乡、全国休闲农业和乡村旅游示范县、全国电子商务进农村示范县、全国义务教育发展基本均衡县、全国中医工作先进县、全国群众体育工作先进县等等30余项国家级殊荣。

近年来，馆陶县着力打造了五张名片。一是“最大”，禽蛋交易市场金凤市场，单体全国最大，鸡蛋远销广东、广西等地，2016年交易额达到110亿元；二是“最优”，馆陶是中国著名的黑陶艺术之乡，现代黑陶艺术经过馆陶人的继承和创新，达1000多个品种；三是“最好”，馆陶是中国唯一的黄瓜之乡，馆青牌黄瓜，连续四年荣获中国绿色博览会金奖；四是“最佳”，馆陶有独一无二的富含三价有机铬的黑小麦，可应用于抑制血糖和抗肿瘤等医学领域；五是“最美”，粮画小镇被评为“中国十大最美乡村”，即将由3A级景区升级成为国家4A级旅游景区。 [2-6] 

2020年4月，被河北省体育局评选为“2019年度体育工作最佳县（市、区）”。

在很多情况下，信息会具有家谱或组织图中那样的分层结构或嵌套结构。为分层结构建模的抽象被称为树，而且这种数据结构是计算机科学领域中最为基础的内容之一。它是包括Lisp在内的数种程序设计语言的底层模型。

本书很多章节中介绍了不同类型的树。例如，在1.3节中，我们看到一些计算机系统中的目录和文件是如何被组织成树形结构的。2.8节中，我们利用树展示了如何递归地分割表，并在归并排序算法中将其重组。3.7节中，我们用树说明了程序中的简单语句是如何一步步组合成更为复杂的语句的。

5.1　本章主要内容

本章讨论的主要内容如下。

• 与树相关的术语和概念（5.2节）。

• 用于在程序中表示树的基础数据结构（5.3节）。

• 对树中节点进行操作的递归算法（5.4节）。

• 结构归纳法——对树进行归纳证明的方法，在这种归纳中要用小树逐渐构建成更大的树（5.5节）。

• 二叉树，树的一种变种，每个节点都只有两个子树（5.6节）。

• 二叉查找树，维护一组要进行插入和删除操作的元素的数据结构（5.7节和5.8节）。

• 优先级队列是一个可以向其中添加元素的集合，不过每次只能从中删除最大的元素。偏序树（partially ordered tree）是为了实现优先级队列而引入的一种高效数据结构，而利用被称为“堆”的平衡偏序树数据结构得到的堆排序算法，在为n个元素排序时所花的时间为O(n logn)。

5.2　基本术语

树是被称为节点的点与被称为边的线的集合。一条边连接着两个不同的节点，要形成树，这一系列的节点和边必须满足某些属性，图5-1就是树的示例。

图 5-1　有7个节点的树

1. 在树中，有一个节点是与众不同的，它被称为根。树的根通常画在其顶端。在图5-1中，根为n1。

2. 除根之外的每个节点c 都由一条边连接到某个称为c 的父节点的节点p。我们也将节点c 称为p 的子节点。节点的父节点要画在该节点的上方。例如，在图5-1中，n1就是n2、n3和n4的父节点，而n2是n5和n6的父节点。换个角度讲，n2、n3和n4都是n1的子节点，而n5和n6是n2的子节点。

3. 如果从除根之外的任一节点n 开始，移动到n 的父节点，再到n的父节点的父节点，以此类推，最终到达树的根节点，就说树是连通的。例如，从n7 开始，移动到它的父节点n4，然后移动到n4的父节点，也就是根节点n1。

5.2.1　树的等价递归定义

利用由较小树构成较大树的归纳定义，还可以递归地定义树。

依据。 单个节点n 就是一棵树，我们说n 就是这棵单节点树的根。

归纳。 设r 是一个新节点，并设T1、T2、…、Tk 分别是根为c1、c2、…、ck 的树。这里要求任何节点在Ti 中的出现次数都不会超过一次，而且r 是个“新”节点，一定不会在这些树中出现。可以按照以下规则用r 和T1、T2、…、Tk 组成新的树T。

(a) 用r 作为树T 的根。

(b) 从r 添加连接到c1、c2、…、ck 的边，使得这些节点都成为根节点r 的子节点。还可以将本步骤视为让r 成为T1、T2、…、Tk 些树的根节点的父节点。

示例 5.1

我们可以使用这一递归定义构建图5-1中的树，而这一构建过程也验证了图5-1中的结构为树。根据依据规则，单个节点可被视为树，所以节点n5和n6本身都是树。接着，可以利用归纳规则创建新树，其中n2作为根节点r，而节点n5就是树T1，节点n6则是树T2，它们是r 这一新根节点的子节点。节点c1和c2分别是n5和n6，因为它们就是树T1和T2的根。这样一来，我们就得出如下结构

是树的结论，而且它的根是n2。

同样，根据依据n7就是一棵树，而且根据归纳规则，如下结构

是一棵树，其中n4是它的根。

节点n3本身也是一棵树。最后，如果将节点n1作为r，并将n2、n3和n4视作刚提到的3棵树的根，就能创建出图5-1中的结构，并验证它确实是棵树。

5.2.2　路径、祖先和子孙

这种父子关系可以自然而然地扩展为祖先和子孙的关系。粗略地讲，节点的祖先就是从节点到其父节点，再到其父节点的父节点，以此类推，顺着这样一条唯一路径找到的那些节点。严格地讲，节点本身也是其自身的祖先节点。而子孙关系则是祖先关系的反向关系，像父子关系这样就是互为反向关系。也就是说，当且仅当节点a 为节点d 的祖先节点时，节点d 才是节点a 的子孙节点。

更严谨地讲，假设m1、m2、…、mk 是树中的一系列节点，其中m1是m2的父节点，m2是m3的父节点，以此类推，直到mk-1是mk 的父节点。那么m1、m2、…、mk 就是该树中从m1到mk 的一条路径。路径的长度为k-1，比路径上的节点数小1。请注意，路径可能是由单个节点构成的，这种情况下路径的长度就为0。

示例 5.2

在图5-1中，n1、n2、n6是从根节点n1到节点n6的一条长度为2的路径，n1是从n1到它自己的一条长度为0的路径。

如果m1、m2、…、mk是树中的一条路径，节点m1就是mk 的祖先，而节点mk 则是m1的子孙。如果该路径的长度不小于1，那么m1就是mk 的真祖先，而mk 则是m1的真子孙。还要记住，路径长度可能为0，在这种情况下，我们就可以得出m1是其自身的祖先也是其自身的子孙这一结论，虽然它不是自己的真祖先或真子孙。树的根节点是树中每个节点的祖先，而树中每个节点都是根节点的子孙。

示例 5.3

在图5-1中，7个节点全都是n1的子孙，而n1是所有节点的祖先。此外，除n1之外的所有节点都是n1的真子孙，而n1也是除了它自己之外的所有节点的真祖先。n5、n2和n1都是n5的祖先。而n4的子孙有n4和n7。

具有相同父节点的节点有时也称为兄弟节点。例如，在图5-1中，n2、n3和n4就互为兄弟节点，而n5和n6互为兄弟节点。

5.2.3　子树

在树T 中，某个节点n，与其所有真子孙（若存在的话），就构成了T 的子树。而节点n 就是该子树的根节点。请注意，子树要满足3个条件才能构成树：它有根节点；子树中其他节点在该子树中都有唯一的父节点；此外，沿着该子树中任意节点的父节点回溯，最终都能达到该子树的根节点。

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