张家口网站建设【张家口网络公司】张家口做网站、张家口微信公众号开发、张家口网站设计、张家口小程序制作

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张家口市，又称“张垣”“武城”，是河北省下辖地级市，地处河北省西北部，京、冀、晋、蒙四省市交界处，是京津冀（环渤海）经济圈和冀晋蒙（外长城）经济圈的交汇点。是冀西北地区的中心城市，连接京津、沟通晋蒙的交通枢纽。 [1]  介于东经113°50′～116°30′，北纬39°30′～42°10′之间。全市南北长289.2千米，东西宽216.2千米，总面积3.68万平方千米。 [2]  截至2019年，张家口市常住人口442.33万人，下辖6区10县。

嘉靖八年（1529年）守备张珍在北城墙开一小门，曰“小北门”，因门小如口，又由张珍开筑，所以称“张家口”。 [3]  春秋战国时北为匈奴与东胡居住地，南部分属燕国、代国。1983年11月，张家口市改为河北省省辖市。 [4]  距今200万年前，远古人类就在此繁衍生息；5000年前，中华民族始祖黄帝、炎帝、蚩尤“邑于涿鹿之阿”，开启了中华文明先河。

张家口市是现行长城最多的地区，素有“长城博物馆”的美称。崇礼、赤城是华北地区最大的天然滑雪场，被誉为东方达沃斯。2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布北京携手河北省张家口获得2022年冬奥会举办权。 [5]  2017年12月，当选“中国十佳冰雪旅游城市”。

2020年，张家口市生产总值实现1600.1亿元，同比增长3.6%。其中，第一产业实现增加值267.7亿元，同比增长3.6%；第二产业实现增加值430.9亿元，同比增长2.2%；第三产业实现增加值901.4亿元，同比增长4.3%。

4.7.3　习题

1. 进行下列分配任务分别有多少种方法?

(a) 6个苹果分给4个孩子；

(b) 4个苹果分给6个孩子；

(c) 6个苹果和3个梨分给5个孩子；

(d) 2个苹果、5个梨和6根香蕉分给3个孩子。

2. 下列情况分别有多少种结果？

(a) 掷4颗无区别的骰子；

(b) 掷5颗无区别的骰子。

3. * 将7个苹果分给3个孩子，并保证每个孩子至少得到一个苹果，共有多少种分发方法？

4. * 假设从国际象棋棋盘的左下角开始向右上角移动，每次向上或向右移动一格，完成这一移动的方式共有多少种？

5. * 将习题(4)一般化。如果有一个由n个方格乘上m个方格组成的矩形，并可以从一个方格向上或向右移动到另一个方格，那么从左下角移动到右上角总共有多少种方法？

4.8　计数规则的组合

组合这一主题能带来无数的挑战，而且很少像本章之前所讨论的那样简单。不过，我们目前所了解到的规则都是最基础，它们都很有价值，能以各种方式结合起来为更加复杂的结构计数。在本节中，我们将了解到3种实用的计数“诀窍”。

1. 将计数表示为一系列选择；

2. 将计数表示为计数的差；

3. 将计数表示为子情况的计数之和。

4.8.1　将计数分解为一系列选择

在为某类分配计数时，有一种实用的方法可以采用，就是将这些待计数的事物描述为一系列的选择，其中每次选择都会细化该类中某个特定成员的描述。在本节中，我们会给出一系列表示某些可能性的示例。

示例 4.18

考虑一下扑克牌型中“对子”（one-pair）的数量。该牌型由一对具有某个秩2的牌，加上3张具有不同秩（而且与之前一对的秩不同）的牌组成。我们可以通过如下步骤描述所有的“对子”牌型。

213个秩分别为A、K、Q、J，以及2到10。

1. 为成对的牌选择秩；

2. 从其余12种秩中为其余3张牌选择3个不同的秩；

3. 为成对的牌选择花色；

4. 为其他3张牌选择花色。

如果将这些数字相乘，将得到“对子”牌型的数量。请注意，牌型中各张牌出现的顺序是无关紧要的，正如之前在示例4.8中讨论过的，而且我们从未尝试过指定次序。

现在，要依次接受这些因素。为成对的那两张牌选择秩的方式有13种。不管选择了哪个秩，都会余下12种。接下来必须从这些秩中选择3个组成剩下的牌型。就像4.5节中讨论过的，这也是一种次序不重要的选择，执行这种选择的方式共有种。

现在必须为这对牌选择花色。共有4种花色，而且我们必须从中选择两种。这次又是无序的选择，可以有种方式。最后，为剩下的3张牌选择花色。每张牌都有4种花色可选，所以又是4.2节中那样的分配问题，进行分配的方式共有43=64种。

因此，“对子”牌型的总数量为13×220×6×64=1 098 240 种，这一数字在2 598 960种扑克牌型中占了40%以上。

4.8.2　用计数的差来计算计数

另一种实用技巧是，将要计数的内容表示为某个更具一般性的排列类C与C中不满足计数条件的那些事物之间的差。

示例 4.19

还有很多种扑克牌型（两对、三条、铁支和葫芦）可以按照类似示例4.18的方法计数。不过，还有一些其他牌型需要不同的方法来计数。

先来考虑一下同花顺的情况，也就是5张花色相同（同花）而且秩连续（顺子）的牌型。首先，每个顺子都是从A到10这10个秩之一开始的。也就是说，顺子可能是A-2-3-4-5，2-3-4-5-6，3-4-5-6-7，等等，最大的可能是10-J-Q-K-A。一旦秩确定，就只需要指定一种花色来指定该同花顺了。因此，为同花顺计数包含以下两步：

1. 选择顺子的最低秩（10种选择）；

2. 选择花色（4种选择）。

因此，总共有10×4=40种同花顺牌型。

现在来为顺子牌型计数，也就是那些秩连续但又不是同花顺的牌型。先要计算所有具有连续秩的牌型的数量，不考虑它们的花色是否相同，然后再减去40种同花顺牌型。要为秩连续的牌型计数，可以按以下两步进行：

1. 选择最低的秩（10种选择）；

2. 为每个秩指定一种花色（如4.2节介绍的，有45=1024种选择）。

因此，顺子和同花顺牌型的总数是10×1 024=10 240种。减去40种同花顺牌型后，就得出顺子牌型共有10 240-40=10 200种。

接下来，考虑一下同花牌型的数目。这里还是要先将同花顺牌型考虑在内，然后再减去那40种同花顺牌型。可以通过如下方式定义同花牌型。

1. 选择花色（4种选择）；

2. 从13个秩中任选5个，如4.5节介绍的，共有种方式。

于是可以得出同花牌型共有4×1 287-40=5 108种。·

4.8.3　将计数表示为子情况的和

在面对一些很难直接解决的问题时，就要用到第三种“诀窍”了。可以把为某个类C 计数的问题分解成两个或多个单独的问题，而类C 中的各个成员刚好都能被子问题之一涵盖。

示例 4.20

假设要抛10次硬币，那么8个或8个以上硬币人头面朝上的序列有多少种？如果想知道有多少序列刚好有8个硬币人头面朝上，可以用4.5节介绍的方法来解决。共有种这样的序列。

要解决为8个或8个以上硬币人头面朝上的序列计数的问题，可以将其分解为3个子问题，即分别为刚好有8个硬币人头面朝上、刚好有9个硬币人头面朝上以及10个硬币全部人头面朝上的情况计数。我们已经解决了第一个问题。而9个硬币人头面朝上的序列共有种，10个硬币全是人头面朝上的序列共有种。因此，有8个或8个以上硬币人头面朝上的序列共有45+10+1=56种。

示例 4.21

再来考虑一下示例4.16中解决的为掷骰子游戏的结果计数的问题。另一种方法就是根据所出现的不同数字是3个、2个或1个，将该问题分成3个子问题。

(a) 可以用4.5节介绍的技巧计算3个数字皆不同的结果的数量。也就是从一颗骰子6个可能的数字中选出3个，总共有种不同的方法。

(b) 接着，要计算两颗骰子是一个数，而另一颗是另一个数的情况有多少种。出现两次的数字有6种选择，每种情况下对应的出现一次的数字有5种选择。所以两颗骰子是一个数而另一颗是另一个数的结果共有6×5=30种。

(c) 3颗骰子数字全相同的情况共有6种。

因此，可能的结果共有20+30+6=56种，这与示例4.16中得到的结论是一样的。

4.8.4　习题

1. * 为以下扑克牌型计数：

(a) 两对；

(b) 三条；

(c) 葫芦（三条加一对）；

(d) 铁支（四条）。

请注意，在为某种牌型计数时不要将那些更佳的牌型计算在内了。例如，在情况(a)中，要确定两对是不同的，不然就是拿到了铁支牌型，而且要保证第5张牌和这两对的秩不一样，否则就是拿到了葫芦牌型。

2. * 黑杰克由两张牌组成，其中一张是A，而另一张是10分牌，就是10、J、Q或K中的一种。

(a) 在一摞52张扑克牌中，有多少种不同的黑杰克？

(b) 在黑杰克游戏中，有一张牌是暗牌，而另一张是明牌。因此，两张牌的次序是有影响的。在这种情况下，有多少种不同的黑杰克？

(c) 在皮诺奇勒牌游戏中，只使用秩为9、10、J、Q、K和A的牌各8张（每种花色各有两张同秩的牌），而不使用其他扑克牌。假设次序无关紧要，共有多少种黑杰克？

3. “什么都不是”（即不是对子或更好）的牌型共有多少种？大家可能要利用示例4.18和示例4.19的结果以及习题(1)的解答。

4. 如果依次抛12枚硬币，那么下列情况各有多少种？

(a) 至少有9枚硬币人头面朝上；

(b) 至多有4枚硬币人头面朝上；

(c) 有5到7枚硬币人头面朝上；

(d) 不到2枚或多于10枚硬币人头面朝上。

5. * 至少有一个数字为1的掷骰子结果共有多少种？

6. * 使用单词little的字母构词，其中两个t不相邻的情况共有多少种？

7. ** 桥牌牌型由52张扑克牌中的13张构成，我们通常会通过“分布”为牌型分类，也就是说，会按照花色为手牌分组。例如，牌型4-3-3-3的分布表示有4张牌是某种花色，而另外3种花色的牌各有3张。牌型5-4-3-1的分布表示各花色的牌分别有5张、4张、3张和1张。为具有如下分布的牌型计数：(a)4-3-3-3；(b)5-4-3-1；(c)4-4-3-2；(d)9-2-2-0。

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