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张家口市，又称“张垣”“武城”，是河北省下辖地级市，地处河北省西北部，京、冀、晋、蒙四省市交界处，是京津冀（环渤海）经济圈和冀晋蒙（外长城）经济圈的交汇点。是冀西北地区的中心城市，连接京津、沟通晋蒙的交通枢纽。 [1]  介于东经113°50′～116°30′，北纬39°30′～42°10′之间。全市南北长289.2千米，东西宽216.2千米，总面积3.68万平方千米。 [2]  截至2019年，张家口市常住人口442.33万人，下辖6区10县。

嘉靖八年（1529年）守备张珍在北城墙开一小门，曰“小北门”，因门小如口，又由张珍开筑，所以称“张家口”。 [3]  春秋战国时北为匈奴与东胡居住地，南部分属燕国、代国。1983年11月，张家口市改为河北省省辖市。 [4]  距今200万年前，远古人类就在此繁衍生息；5000年前，中华民族始祖黄帝、炎帝、蚩尤“邑于涿鹿之阿”，开启了中华文明先河。

张家口市是现行长城最多的地区，素有“长城博物馆”的美称。崇礼、赤城是华北地区最大的天然滑雪场，被誉为东方达沃斯。2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布北京携手河北省张家口获得2022年冬奥会举办权。 [5]  2017年12月，当选“中国十佳冰雪旅游城市”。

2020年，张家口市生产总值实现1600.1亿元，同比增长3.6%。其中，第一产业实现增加值267.7亿元，同比增长3.6%；第二产业实现增加值430.9亿元，同比增长2.2%；第三产业实现增加值901.4亿元，同比增长4.3%。

4.13　概率在程序设计中的应用

在本节中，我们将考虑概率计算在计算机科学中的两类应用。第一类是对算法期望运行时间的分析。第二类则是一种常被称为“蒙特卡洛”算法的新算法，因为这种算法具有不正确的风险。而正如我们将看到的，通过对参数的调整，是有可能将蒙特卡洛算法正确的概率提高到令人满意的程度的，只不过没法让正确的概率达到1，或者说绝对正确。

4.13.1　概率分析

考虑以下简单问题。假设有一个含n个整数的数组，并询问某整数x 是否为数组A[0..n-1]中的项。图4-22所示的算法就是完成这一工作的。请注意，它会返回BOOLEAN（布尔）类型，在1.6节中已经定义过它是int类型的，而且还定义了常量TRUE和FALSE，它们分别表示1和0。

     BOOLEAN find(int x, int A[], int n)
     {
         int i;(1)      for(i = 0; i < n; i++)(2)          if(A[i] == x)(3)              return TRUE;(4)      return FALSE;
     }复制代码

图 4-22　在大小为n 的数组A 中找出元素x

第(1)到第(3)行会检查数组中的每一项，而且如果在数组中找到x，就立即终止循环并返回TRUE作为答案。而如果未找到x，则会到达第(4)行并返回FALSE。设循环体以及循环的递增与测试所花的时间为c。设第(4)行和循环初始化所花的时间为d。那么如果未找到x，图4-22所示函数的运行时间就是cn+d，也就是O(n)。

不过，假设找到了x，那么图4-22所示函数的运行时间又是多少？显然，越早找到x，所花的时间就越少。如果x 因某种原因一定是在A[0]位置，那么所花的时间就是O(1)，因为循环只会迭代一次。不过如果x 总是在末尾或接近末尾，那么所花的时间就会是O(n)。

当然，最坏的情况就是我们在最后一步才找到x，所以O(n)就是最坏情况下的平滑紧上界。不过，平均情况有没有可能比O(n)好得多呢？要解决这一问题，就需要定义一个概率空间，其中的点都表示x 可能在的位置。最简单的假设就是x 会等可能地被放置在数组A 中的任意一个位置。如果这样的话，该概率空间就有n 个点，每个点分别表示数组A 下标的界限0到n-1这些整数。

接着问题又来了：在该概率空间中，图4-22所示函数运行时间的期望值是多少？考虑该空间中的点i，i 可以是从0到n-1中的任一个。如果x 是在A[i]的位置，循环就会迭代i+1次。因此运行时间的上界就是ci+d。不过这一界限略有常数d 的偏差，因为第(4)行从未执行过。不过，这一差异是无关紧要的，因为在将运行时间转换为大O表达式时，d 就会被消去了。

因此我们必须求出函数f (i )=ci+d 在本概率空间中的期望值。将i 从0到n-1时的ci+d 相加，并除以点的总数量n，就得到

对较大的n，该表达式的值约为cn/2。因此，O(n)就是该期望值的平滑紧上界。也就是说，在大约为2的常数因子内，这个期望值与最坏的情况是相同的。这一结果从直觉上讲是成立的。如果x 等可能地出现在数组中的任意位置，它“通常会”在数组的某一半中，因此大约只需要下x 根本不在数列中或在最后一个元素的位置时一半的工夫即可。

4.13.2　使用概率的算法

图4-22所示的算法是确定的，它总是对同样的数据进行同样的处理。只有对期望运行时间的分析利用到了概率的计算。几乎我们遇到的每种算法都是确定的。不过，有一些问题靠虽不确定但会以某种基本方式从概率空间中进行选择的算法能更好地得到解决。从假想的概率空间中进行这样的选择并不难，方法就是利用4.9节中介绍的随机数生成器。

一类常见的概率算法是蒙特卡洛算法，在每次迭代时会进行随机选择。根据这一选择，它既有可能说“真”，就是保证会得到正确答案的情况，也有可能说“我不知道”，就是正确答案既可能为“真”也可能为“假”的情况。其可能性如图4-23中的概率空间所示。

图 4-23　蒙特卡洛算法一次迭代可能的结果

在答案为真的条件下，算法说“真”的概率是a/(a+b)。也就是说，该概率是图4-23中给定a或b的条件下事件a 的条件概率。只要该概率p大于0，就可以随便迭代多少次，并迅速减小失败的概率。通过“失败”，我们表示了正确答案为“真”，但算法中没有哪次迭代可以得出这一结果。

因为每次迭代都是独立实验，如果正确答案是“真”，而且要迭代n 次，那么算法从不说“真”的概率是(1-p)n。只要1-p是严格小于1，就知道(1-p)n会随着n的增长迅速减小。例如，如果p=1/2，那么1-p也是1/2。n=10时，(0.5)n大约是1/1000（见4.2节附注栏内容），n=20时，这个量约是1/1 000 000，等等。n每增加10，这个量就缩小约1000倍。

蒙特卡洛算法会进行n次这样的实验。如果任意实验的答案都为“真”，那么算法的答案也为“真”。如果所有答案都为“假”，那么算法的答案为“假”。因此，

1. 如果正确答案是“假”，该算法一定会回答“假”。

2. 如果正确答案是“真”，该算法有(1-p)n的概率回答“假”，我们可以假设这一概率非常小，因为选择了足够大的n来使它很小。该算法回答“真”的概率是1-(1-p)n，这个值很可能是非常接近1的。

因此，当正确答案为“假”时是不会失败的，而当正确答案为“真”时也几乎很难失败。

示例 4.45

本例要讲一个用蒙特卡洛算法解决起来更有效的问题。XYZ计算机公司订购了若干箱芯片，这些芯片应该在出厂前都经过测试以确保都是良品。不过，XYZ公司相信某几箱芯片在出厂前未经过检测，在这种情况下任一芯片不合格的概率是1/10。XYZ公司有种简单的解决方法，就是亲自检测收到的全部芯片，不过这一过程既费钱又费时。如果一箱中有n块芯片，对该箱芯片进行测试所花的时间就是O(n)。

更佳的方式是利用蒙特卡洛算法。从每箱芯片中随机选出k块进行测试。如果某块芯片是坏的，就回答“真”——表示该箱芯片在出厂前未经过测试，不然这块坏芯片当时就被检出了。如果该芯片是合格的，就回答“我不知道”，并继续检测下一块芯片。如果测试的k块芯片全是良品，那么就声明整箱芯片都是良品。

就图4-23而言，区域c 就表示从一箱合格芯片中选出芯片的情况；区域b是某箱芯片未经测试，但芯片凑巧合格的情况；而区域a则是某箱芯片未经测试，而且芯片不合格的情况。之前“如果某箱芯片未经测试则有1/10的芯片不合格”这一假设表示圆形区域a的面积是封闭椭圆区域a和b面积的十分之一。

现在来计算一下失败的概率即k 块芯片全合格，但该箱芯片未经测试。在测试完一块芯片之后说“我不知道”的概率1-1/10=0.9是。因为测试每块芯片的事件都是独立的，所以对k块芯片都说“我不知道”的概率是(0.9)k。假设选择k=131。那么失败的概率就是(0.9)131，大约是0.000001，或者说是百万分之一。也就是说，如果某箱芯片是合格的，就永不会在该箱中找出不合格的芯片，所以我们可以笃定该箱芯片是合格的。如果某箱芯片未经测试，那么在测试的131块芯片中发现不合格芯片的概率是0.999999，而且会说该箱芯片需要全面测试。有0.000001的概率是，某箱芯片未经测试但我们还说这是一箱合格芯片，而且不需要测试该箱芯片中的其余芯片。

该算法的运行时间为O(1)。也就是说，测试至多131块芯片的事件是个与箱中所装芯片数n无关的常量。因此，与更直观的测试全部芯片的算法相比，测试每箱芯片的时间开销从O(n)降到了O(1)，代价是每一百万个未测试的箱子中会出错一次。

此外，通过改变在得出某箱芯片合格的结论之前所测试芯片的数量，可以让出错的概率尽可能小到让我们满意。例如，如果让测试的芯片数翻番，达到262块，那么失败的概率就成了之前的平方了，也就是成了万亿分之一，或者说是10-12。还有，我们能以更高的失败率为代价节省常数倍的时间。例如，如果将测试的芯片数减半，减至每箱测试66块芯片，那么失败率就会达到约1000箱未测试芯片中就有一箱出问题。

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