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发表日期: 2021-04-13 10:52:00 浏览次数:163

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张家口市,又称“张垣”“武城”,是河北省下辖地级市,地处河北省西北部,京、冀、晋、蒙四省市交界处,是京津冀(环渤海)经济圈和冀晋蒙(外长城)经济圈的交汇点。是冀西北地区的中心城市,连接京津、沟通晋蒙的交通枢纽。 [1]  介于东经113°50′~116°30′,北纬39°30′~42°10′之间。全市南北长289.2千米,东西宽216.2千米,总面积3.68万平方千米。 [2]  截至2019年,张家口市常住人口442.33万人,下辖6区10县。

嘉靖八年(1529年)守备张珍在北城墙开一小门,曰“小北门”,因门小如口,又由张珍开筑,所以称“张家口”。 [3]  春秋战国时北为匈奴与东胡居住地,南部分属燕国、代国。1983年11月,张家口市改为河北省省辖市。 [4]  距今200万年前,远古人类就在此繁衍生息;5000年前,中华民族始祖黄帝、炎帝、蚩尤“邑于涿鹿之阿”,开启了中华文明先河。

张家口市是现行长城最多的地区,素有“长城博物馆”的美称。崇礼、赤城是华北地区最大的天然滑雪场,被誉为东方达沃斯。2015年7月31日,国际奥委会主席巴赫宣布北京携手河北省张家口获得2022年冬奥会举办权。 [5]  2017年12月,当选“中国十佳冰雪旅游城市”。

2020年,张家口市生产总值实现1600.1亿元,同比增长3.6%。其中,第一产业实现增加值267.7亿元,同比增长3.6%;第二产业实现增加值430.9亿元,同比增长2.2%;第三产业实现增加值901.4亿元,同比增长4.3%。

概率推理的其他应用

本节中我们已经看到了概率推理的一种重要应用:医疗推理。下面还列出了其他一些领域,在这些领域中有一些相似的概念出现在计算机解决方案中。

  • 系统诊断。设备出现故障,表现出一些不正常的行为。例如,计算机屏幕一片空白,但硬盘还在运转。导致这一问题的原因是什么?

  • 统筹性规划。给定经济条件的概率,比如通货膨胀以及某种商品供给的减少等,哪种战略的成功概率最大?

  • 智能家电。多种高端家电可以使用概率推理(常被称为“模糊逻辑”)为用户作出决定。例如,洗衣机可以旋转并称量它盛装的衣物,预测最有可能的面料(比如免烫材料或羊毛),并据此调整洗衣的程序。

4.12 期望值的计算

通常,实验可能出现的结果都有相关联的值。在本节中,我们将利用一些简单的博彩游戏作为示例,在这些游戏中赢钱或输钱取决于实验的结果。而在下一节中,我们还将讨论计算机科学领域更复杂的示例,即计算某些算法预期运行时间的例子。

假设拥有某个概率空间,以及该空间中点上的收益函数ff 的期望值就是f (x)PROBf (x)上所有点x 的和。用EV(f )表示该值,当所有点都是等可能时,可以通过

1. 将空间中所有x 对应的f (x )相加,然后

2. 将和值除以空间中点的数目,

计算该期望值EV(f )。该期望值有时被称为均值,而且可以被视作“重心”。

示例 4.42

假设该概率空间是表示投一颗公平骰子的结果的6个点,这些点会自然而然地被视为1到6这些整数。设该收益函数为恒等函数f (i )=i,i=1、2、…、6,那么f 的期望值就是

\begin{align*}\text{EV}(f)&=\bigl(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)\bigr)/6\\&=(1+2+3+4+5+6)/6=21/6=3.5\\\end{align*}

也就是说,一颗骰子投出点数的期望值是3.5。

再看一个例子,设g 是收益函数g(i )=i 2。那么,对同样的实验——投一颗骰子,期望值g 为

\begin{align*}\text{EV}(g)&=(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)/6\\&=(1+4+9+16+25+36)/6=91/6=15.17\end{align*}

非正式地讲,一颗骰子掷出点数平方的期望值是15.17。

示例 4.43

再来考虑示例4.16首次引入的掷骰子游戏。该游戏的收益规则如下。玩家对某个数字下注1美元。如果该数字出现1次或多次,那么该玩家就会得到该数字出现次数那么多的美元。如果该数字未出现,那么该玩家就会输掉他下注的那些钱。

掷骰子游戏的概率空间是由1到6这几个数字的三元组构成的216个点。这些点表示掷三颗骰子的结果。我们假设玩家下注的数字是1。很明显可知,只要这些骰子都是公平的,该玩家输赢钱数的期望值就与他下注的数字无关。

该游戏的收益函数f 为下列情况。

1. g(i,j,k)=-1,如果ij 和k 都不为1。也就是说,如果没出现1点,那么玩家将会输掉他下注的那1美元。

2. g(i,j,k)=1,如果ij 或k 中刚好有一个为1。

3. g(i,j,k)=2,如果ij 或k 中刚好有两个为1。

4. g(i,j,k)=3,如果ij 和k 都为1。

接下来的问题就是求g 在这216个点上的平均值。因为枚举所有的点会很乏味,所以最好是先试着分别数出4种不同结果对应的点的数量。

首先,看看3颗骰子都不是1点的情况有多少种。如果没有1,则每个位置有5个数字可供选择,所以这就成了4.2节中的分配问题。因此,没有1的情况共有53=125种。按照上述的规则(1),这125个点为收益的和值贡献了-125。

接着,数一下3颗骰子刚好有一颗为1点的情况有多少。1可以出现在3个位置中的任何一个。对每个存放1的位置,剩下两个位置都可以从5个数字中选择。因此,刚好有一个1的点共有3×5×5=75个。根据规则(2),这些点为收益贡献了+75。

而3颗骰子都为1的情况显然只有一种,所以这一概率为收益作出了+3的贡献。而剩下的216-125-72-1=15个点肯定是有两个1的,所以根据规则(2),这些点贡献了+30的收益。

最后,将4类点对应的收益值都加起来,并除以概率空间中点的总数目,便能得出该游戏收益的期望值,因此得到

EV(f )=(-125+75+30+3)/216=-17/216=-0.079

也就是说,玩家平均每下注1美元就会输掉约8美分。这一结果可能会让人吃惊,因为游戏表面上看起来是一次机会平等的打赌。这一点将在本节的习题中加以讨论。

正如示例4.43所表示的,有时候根据收益函数的值将概率空间中的点分组也更易于计算。一般而言,假设有某个收益函数为f 的概率空间,而且f 只产生有限数量的不同值。例如,在示例4.43中,f 产生的值只有-1、1、2和3。对每个由f 产生的值v,设Ev 是由满足f (x )=v 的点x 组成的事件。也就是说,Ev 是让f 产生值v 的点的集合,那么

EV(f ) = \sum_vv PROB(Ev)      (4.22)

在这些点概率相同的一般情况下,设nv 是事件Ev 中点的数目,并设n 是该概率空间中点的总数。那么PROB(Ev)就是nv /n,这样就可以有

\text{EV}(f)=\biggl(\sum_vvn_v\biggr)/n

示例 4.44

在示例4.25中,我们介绍了基诺游戏,并计算了在5个数字里猜中3个的概率。现在来计算一下基诺5点游戏收益的期望值。回想一下,在5点游戏中,玩家要从1到80中竞猜5个数字。在游戏开始后,会从1到80这些数字中选取20个。如果这20个数字中有3个或3个以上与玩家所选的5个数字相同,那么玩家就中奖了。

不过,收益取决于玩家所选的5个数字中猜对了多少个。通常,如果下注1美元,那么玩家所选5个数字中要是猜中3个,就可以得到2美元,也就是有1美元的净收益。如果他所选的5个数字中有4个是对的,就将得到15美元。如果5个数字全对,就能赢得300美元的奖励。如果猜中的数字不足3个,就不会得到奖励,并会输掉他投注的那1美元。

在示例4.25中,我们计算出5个数字中猜对3个的概率是0.08394(保留4位有效数字)。同样,可以计算出5个数字中猜对4个的概率是0.01209,而5个数字全对的概率是0.0006449。那么,猜对的数字不足3个的概率就是1减去这些小数,或者说约为0.90333。少于3个、对3个、对4个和对5个的收益分别为-1、+1、+14和+299。因此,利用(4.22)式就能得出基诺5点游戏的期望收益,就是

0.90333×(-1)+0.08394×1+0.01209×14+0.0006449×299=-0.4573

因此,玩家平均每在该游戏中投注1美元,就大约会损失46美分。

习题

1. 证明:如果掷3颗骰子,出现1点的预期数量是1/2。

2. *只要有1就能中奖,而没有1就不中,那么,为什么习题(1)中的事实并不意味着掷骰子游戏是一场机会平等的游戏(即在1或任一数字上下注的期望收益为0)?

3. 假设在基诺4点游戏中,玩家要竞猜4个数字,而回报如下:猜中两个数字,得1美元(即玩家可以拿回他下注的那1美元);猜中3个数字,得4美元;4个数字全中,得50美元。那么回报的期望值是多少?

4. 假设在基诺6点游戏中回报如下:猜中3个,得1美元;猜中4个,得4美元;猜中5个,得25美元;全中,得1000美元。那么回报的期望值是多少?

5. 假设要玩6颗骰子的掷骰子游戏。玩家会为某个数字下注1美元,然后掷出骰子。他选择的数字每出现一次,就会得到1美元的奖励。例如,如果出现一次,那么净回报为0;如果出现两次,则净回报为+1,等等。那么这是种公平游戏(即回报的期望值为0)吗?

6. * 根据习题5表示的回报设计,我们可以对标准形式的掷3颗骰子的游戏的回报规则加以改变,让玩家可以下注一定数额。那么玩家下注的数字出现一次他就会得到1美元。为了使游戏成为一场公平游戏,玩家应该下注多少才合适?

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