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张家口市，又称“张垣”“武城”，是河北省下辖地级市，地处河北省西北部，京、冀、晋、蒙四省市交界处，是京津冀（环渤海）经济圈和冀晋蒙（外长城）经济圈的交汇点。是冀西北地区的中心城市，连接京津、沟通晋蒙的交通枢纽。 [1]  介于东经113°50′～116°30′，北纬39°30′～42°10′之间。全市南北长289.2千米，东西宽216.2千米，总面积3.68万平方千米。 [2]  截至2019年，张家口市常住人口442.33万人，下辖6区10县。

嘉靖八年（1529年）守备张珍在北城墙开一小门，曰“小北门”，因门小如口，又由张珍开筑，所以称“张家口”。 [3]  春秋战国时北为匈奴与东胡居住地，南部分属燕国、代国。1983年11月，张家口市改为河北省省辖市。 [4]  距今200万年前，远古人类就在此繁衍生息；5000年前，中华民族始祖黄帝、炎帝、蚩尤“邑于涿鹿之阿”，开启了中华文明先河。

张家口市是现行长城最多的地区，素有“长城博物馆”的美称。崇礼、赤城是华北地区最大的天然滑雪场，被誉为东方达沃斯。2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布北京携手河北省张家口获得2022年冬奥会举办权。 [5]  2017年12月，当选“中国十佳冰雪旅游城市”。

2020年，张家口市生产总值实现1600.1亿元，同比增长3.6%。其中，第一产业实现增加值267.7亿元，同比增长3.6%；第二产业实现增加值430.9亿元，同比增长2.2%；第三产业实现增加值901.4亿元，同比增长4.3%。

因此，条件概率PROB(F |E )是12/204，或者说是1/17。可以注意到，在本例中，E 条件下F 的概率与F 的概率并不相等。这也是符合直观感受的。当第一张牌取走一张A之后，第二张牌再取到A的概率就下降了。那时候，剩下的51张牌中只有3张A，而3/51=1/17。与之相对的是，如果不知道第一张牌是什么，那么第二张牌就可能是52张牌中4张A中的某一张。

4.10.1　独立实验

正如示例4.23、示例4.26和示例4.27中所介绍的，有时候建立的概率空间会表示两个或多个实验的结果。在最简单的情况下，该共同概率空间中的点是结果的表，每个表代表一项实验的结果。图4-16就给出了两项实验联合起来的概率空间。在实验结果间存在联系的情形中，共同空间中可能会丢失一些点。示例4.27就讨论了这样的情况，其中共同空间表示取两张牌且结果成对，其中不可能取到两张相同的牌。

实验X 独立于序列中前序实验的结果。从直观概念上讲这意味着X 的各种结果都不依赖于前序实验的结果。因此，示例4.26中我们指出掷第二颗骰子是独立于掷第一颗骰子的，而在示例4.27中，我们看到取第二张牌的实验并非独立于取第一张牌的实验，因为取出第一张牌后，就不可能再次取到这张牌了。

在定义独立性时，将着重于两项实验的关系。不过，因为任一实验本身也可能是一个若干实验构成的序列，所以这样的定义有效地涵盖了具有很多实验的情况。首先必须了解表示两项成功实验X1和X2的结果的概率空间。

示例 4.28

图4-14展示了一个共同概率空间，其中实验X1是第一颗骰子，而实验X2是第二颗骰子。这里每一对结果都是用一个点表示的，而这些点的可能性是相等的，都等于1/36。

在示例4.27中，我们讨论过表示按次序选取两张牌、含52个点的概率空间。该空间由(C,D )这样的牌对组成，其中C 和D 分别是某张扑克牌，而且C≠D。这些点的可能也相同，都是1/2652。

在表示X1接着X2的结果的概率空间中，存在表示其中一项实验的结果的事件。也就是说，如果a 是实验X1可能出现的结果，就有一个事件是由所有表示第一项实验结果为a 的点组成的。这里将该事件称为Ea 。同样，如果b 是实验X2可能出现的结果，就有一个事件Fb是由所有表示第二项实验结果为b 的点组成的。

示例 4.29

在图4-16中，E是E1，就是表示第一项实验结果为1的所有点。同样，F是事件F1，就是那些表示第二项实验结果为1的点。每一行对应着第一项实验6种可能结果中的一种，而每一列则对应第二项实验6种可能结果中的一种。

图 4-16　表示第一颗骰子或第二颗骰子点数为1的事件

严格地讲，如果对X1的所有结果a以及X2的所有结果b，有PROB(Fb|Ea)=PROB(Fb)，那么就说实验X2是独立于实验X1的。也就是说，不管实验X1的结果是怎样的，实验X2各结果的条件概率都是相同的，而且都等于实验X2在整个概率空间中的概率。

示例 4.30

回到图4-16表示掷两颗骰子的概率空间，设a 和b 分别是1到6这些数字中的任意一个。用Ea表示第一颗骰子为a 的事件，Fb表示第二颗骰子是b 的事件。不难注意到，这些事件的概率均为1/6，它们各自排成一行或一列。对任意的a 和b 来说，PROB(Fb|Ea)也是1/6。我们在示例4.26中已经证实这一结论在a=b=1的情况下是成立的，不过同样的论证过程也适用于任意两个结果a和b，因为它们的事件只有一个点是相同的。因此，掷两次骰子是相互独立的。

另一方面，在以扑克牌为例的示例4.27中，就不存在这种独立性。因为，实验X1是第一张牌的选择，而实验X2是从剩下的牌中选择第二张牌。考虑诸如FA♠这样的事件，也就是说，第二张牌为黑桃A的情况。很容易便能得出该事件的概率PROB(FAA♠这)为1/52的结论。

再来考虑诸如E3♣，也就是第一张牌为草花3的情况。同在E3♣和FA♠中的点只有一个，就是点(3♣,A♠)。而E3♣中的点共有51个，也就是形如(3♣,C)这样的点，其中C是除了草花3之外的任意一张牌。因此，条件概率PROB(FA♠|E3♣)是1/51，而不是1/52，因为这两项实验不是相互独立的。

可以考虑一个更极端的例子，就是第一张牌为黑桃A的事件EA♠。因为EA♠和FA♠中没有相同的点，所以PROB(FA♠|EA♠)就是0，而不是1/52。

4.10.2　概率的分配律

有时候，如果先将概率空间划分为几个区域3，就会让概率的计算变得更加容易。也就是说，每个点都只出现在一个区域中。通常，概率空间表示一系列实验的结果，而表示事件的区域则对应其中某一实验可能出现的结果。

3“区域”指的就是“事件”，也就是概率空间的子集。不过，这里使用术语“区域”是为了强调这是将概率空间分为完全覆盖整个区域又不互相重叠的事件。

假设要计算被分为R1、R2、…、Rk 这k 个区域的某个具有n个点的概率空间中事件E 的概率。简单起见，假设所有点的概率都是相同的，尽管就算它们的概率不同也不影响结论的成立。设事件E 由m个点组成。设区域Ri 中有ri 个点（i=1、2、…、k）。最后，设E中处于区域Ri 中的点有ei 个。请注意，，而且。原因皆在于这些点都会在某个区域中而且只会在一个区域中。

我们知道PROB(E)=m/n，因为m/n 就是E 中的点所占的部分。如果用ei 的和替代m，就得到

PROB(E) = 

接着，在上述和式中每一项的分子和分母中都引入因子ri 。结果就是

PROB(E) = 

现在，请注意ri /n 就是PROB(Ri )，也就是说，ri /n是区域Ri 在整个概率空间中所占的部分。此外，ei /ri 就是PROB(E /Ri )，即事件Ri 条件下事件E 的概率。换句话说，ei /ri 是区域Ri 中也出现在E 中的点的比例。结果就得到以下事件E 概率的计算公式。

PROB(E ) = PROBPROB(Ri )　　　　　　(4.10)

非正式地讲，E 的概率是各区域的概率乘上E 在相应区域中的概率的总和。

示例 4.31

图4-17表示了(4.10)式的应用方式。图中展示了被垂直划分为R1、R2和R3这3个区域的概率空间。其中事件E 是再度用线勾勒出的。设a 到f 分别是所示6个组中点的数目。

设n=a+b+c+d+e+f。那么有PROB(R1)=(a+b)/n、PROB(R2)=(c+d)/n，而且PROB(R3)=(e+f )/n。而事件E 在这3个区域的条件概率分别是PROB(E |R2)=a/(a+b)、PROB(E |R2)=c/(c+d)，而且PROB(E |R3)=e/(e+f )。现在来评估(4.10)式，就有

图 4-17　分为区域的概率空间

PROB(E )＝PROB(E |R1)PROB(R1)+PROB(E |R2)PROB(R2)+PROB(E |R3)PROB(R3)

如果将该式用a 到f 的参数表示，就是

PROB(E ) = 

请注意，直接将标记有a、c、e的3块中点的数目与整个空间的大小相比，也能得到同样的结果。(a+c+e)/n这一分数正是上式给出的E的概率，这一结果证明了(4.10)式。

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