张家口微信公众号开发【张家口网络推广】张家口建站、张家口网站维护、张家口网页制作、张家口微信小程序代运营公司

张家口微信公众号开发【张家口网络推广】张家口建站、张家口网站维护、张家口网页制作、张家口微信小程序代运营公司

张家口市，又称“张垣”“武城”，是河北省下辖地级市，地处河北省西北部，京、冀、晋、蒙四省市交界处，是京津冀（环渤海）经济圈和冀晋蒙（外长城）经济圈的交汇点。是冀西北地区的中心城市，连接京津、沟通晋蒙的交通枢纽。 [1]  介于东经113°50′～116°30′，北纬39°30′～42°10′之间。全市南北长289.2千米，东西宽216.2千米，总面积3.68万平方千米。 [2]  截至2019年，张家口市常住人口442.33万人，下辖6区10县。

嘉靖八年（1529年）守备张珍在北城墙开一小门，曰“小北门”，因门小如口，又由张珍开筑，所以称“张家口”。 [3]  春秋战国时北为匈奴与东胡居住地，南部分属燕国、代国。1983年11月，张家口市改为河北省省辖市。 [4]  距今200万年前，远古人类就在此繁衍生息；5000年前，中华民族始祖黄帝、炎帝、蚩尤“邑于涿鹿之阿”，开启了中华文明先河。

张家口市是现行长城最多的地区，素有“长城博物馆”的美称。崇礼、赤城是华北地区最大的天然滑雪场，被誉为东方达沃斯。2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布北京携手河北省张家口获得2022年冬奥会举办权。 [5]  2017年12月，当选“中国十佳冰雪旅游城市”。

2020年，张家口市生产总值实现1600.1亿元，同比增长3.6%。其中，第一产业实现增加值267.7亿元，同比增长3.6%；第二产业实现增加值430.9亿元，同比增长2.2%；第三产业实现增加值901.4亿元，同比增长4.3%。

结果何时是随机的？

在示例中已经假设过某些实验具有“随机的”结果，也就是说，所有可能出现的结果的可能性都是相等的。在一些情况下，这种假设的合理性源自物理学。例如，在投掷公平（未加重）的骰子时，我们假设在物理上不可能控制骰子的某个面比其他面更可能朝上。这在实践中是种有效的假设。同样，我们可以假设公平洗牌的牌堆不会影响结果，而且任何一张牌出现在牌堆中任意位置的可能性都是相同的。

在其他情况下，我们发现一些貌似随机的事物实际上根本不随机，只不过是某个过程原则上可预知但在实践中不可预知的结果。例如，基诺游戏中选出的数字可能是由计算机执行某个特殊算法生成的，而如果没法接触到计算机使用的这些秘密信息，就不可能预测结果。

计算机生成的“随机”序列都是某种被称为随机数生成器的特殊算法的结果。设计这样的算法需要一些专门的数学知识，而这些知识超出了本书的范畴。不过，我们会介绍一种实践中相当好用的随机数生成器——线性同余生成器。

指定常数a≥2，b≥1，x0≥0，而且a modm>max(a,b,x0)，便可以通过使用公式

xn+1=(axn+b)modm

生成一列数字x0，x1，x2…。如果选择的a、b、m和x0很合适，那么得到的数字序列就会显得相当随机，即便它们是通过特定算法由“种子”x0计算得出的。

随机数生成器生成的序列有很多用途。例如，可以根据上述序列选取基诺游戏中的开奖号码，用上述序列中的每个数除以80，取余数，并加上1，得到1到80间的某个“随机”数。不断 这样处理，除去重复的数字，直到选出20个数字。只要没人知道生成算法和种子，这一游戏就 可视为是公平的。

现在要计数的情况是从80个数字中选出20个，其中含有玩家所选择5个数字中的3个，以及玩家没有选择的75个数字中的17个。从5个数字中选出3个共有种方式，而从剩下的75个数字中选取17个的方式共有种。

因此，玩家在5个数字中猜中3个的结果数与总选择数的比就是

如果将上下都乘上，上式就成了

可以看到分子和分母中的阶乘项很接近，几乎可以约去。例如，分子中的75!和分母中的80!就可以用分母中80到76这5个数的乘积代替，所以可以简化为

这样就可以对可控数字加以计算了，结果是0.084。也就是说，玩家在5个数字中猜中3个的概率大约为8.4%。

4.9.3　基本关系

本节要审视概率的一些重要属性。首先，如果p 是任一事件的概率，那么

0≤p≤1

也就是说，任何事件都是由0个或更多个点组成，所以它的概率不可能为负值。而且，没有任何事件会由比整个概率空间还多的点构成，所以它的概率不会超过1。

其次，设E 是某个概率空间P 中的事件。那么事件E 的互补事件E 就是P 中不属于事件E 的点的集合。不难看出

PROB(E ) + PROB() = 1

或者换句话说，PROB() = 1 - PROB(E )。原因在于，P 中的每个点，要么在E 中，要么在中，不可能同时在二者之中。

4.9.4　习题

1. 使用图4-14中展示的掷两颗公平骰子的概率空间，给出以下事件的概率。

(a) 掷出的点数为6（即两颗骰子点数之和是6）；

(b) 掷出的点数为10；

(c) 掷出的点数为奇数；

(d) 掷出的点数在5到9之间。

2. * 计算以下事件的概率。概率空间是从普通的52张扑克牌堆中按次序取两张牌的所有情况。

(a) 至少有一张牌是A；

(b) 两张牌的秩相同；

(c) 两张牌花色相同；

(d) 两张牌的秩和花色都相同；

(e) 两张牌要么秩相同要么花色相同；

(f) 第一张牌的秩高于第二张牌的秩。

3. * 将飞镖掷向墙上一英尺见方的区域，击中该方形区域中任何一点的可能性都是相同的。那么在投掷飞镖时

(a) 离中心3英寸以内的概率是多少？

(b) 离边缘3英寸以内的概率是多少？

请注意，在该习题中，概率空间是一个一英尺见方的无限区域，其中所有点都是等可能性的。

4. 计算玩家在基诺5点游戏中猜中如下数字的概率。

(a) 猜中5个数字中的4个；

(b) 猜中全部5个数字。

5. 编写C语言程序实现线性同余随机数生成器。绘制它生成的前100个数字最低有效位各数字出现频率的直方图。该直方图应该具有什么属性？

4.10　条件概率

在本节中，我们将指定数项公式和策略，用来考虑若干事件概率之间的关系。其中一项重要的结论就是独立实验的概念。在独立实验中，一项实验的结果不影响其他实验的结果。我们还将运用一些技巧来计算某些复杂情形下的概率。

这些结论都依赖于“条件概率”的概念。不严谨地说，如果进行一次实验，而且得知事件E 已经发生，那么表示这种结果的点也有可能出现在另一事件F 中。图4-15就展示了这种情况。E 条件下F 的概率就是E 发生前提下F 也发生的概率。

图 4-15　E 条件下F 的概率是结果在A 中的概率除以结果在A 或在B 中的概率

正式地讲，如果E 和F 是某个概率空间中的两个事件，那么E 条件下F 的概率，记作PROB(F |E )，就是同时出现在E 和F 中的所有点的概率之和除以出现在E 中各点的概率之和。在图4-15中，区域A 表示那些同时在E 和F 中的点，B 则表示在E 中而不在F 中的点。如果所有点都是等可能的，那么PROB(F |E )就是A 中点的数量除以A 和B 中点的数量之和。

示例 4.26

考虑图4-14中表示掷两颗骰子的概率空间。设事件E 是第一颗骰子点数为1的6个点，F 是第二颗骰子点数为1的6个点，情形如图4-16所示。既在E 中又在F 中的点只有一个，即点(1，1)。在E 而不在F 中的点共有5个。因此，条件概率PROB(F |E )为1/6。也就是说，在确定第一颗骰子为1的条件下，第二颗骰子为1的概率是1/6。

大家可能会注意到，这一条件概率刚好等于F 本身的概率。也就是说，因为F 占有整个概率空间36个点中的6个点，所以PROB(F )=6/36=1/6。从直观上讲，第二颗骰子掷出1的概率，并不受第一颗骰子已经掷出1这一事实的影响。我们很快就将定义“独立实验”（比如依次掷骰子）的概念，其中一次实验的结果不会对其他实验的结果产生影响。在这样的情况下，如果E 和F 是表示两次实验结果的事件，就可以预期PROB(F |E )=PROB(F )。我们已经看过这一现象的一个例子了。

示例 4.27

假设实验是从有52张扑克的牌堆中按次序取两张牌。在这一不放回选择（如4.4节所述）实验中，点的数目是52×51=2652。假设这种取牌是公平的，所以每个点的可能性都是相同的。

设事件E 是第一张牌为A的情况，F 是第二张牌为A的情况。那么E 中的点共有4×51=204个。也就是说，第一张牌是4张A中的某一张，而第二张牌可以是除去第一次选走的A之外的51张牌中的任意一张。因此，PROB(E )=204/2652=1/13。这一结果是符合大家的直觉的。所有13种秩都是等可能性的，所以可以预期第一张牌出现A的可能是1/13。

同样，事件F 中也有4×51=204个点。可以为第二张牌任选一种A，并在其余51张牌中任选其一作为第一张牌。第一张牌理论上讲要先取得，而这一事实是无关紧要的。因此A出现在第二张的情况共有204种。因此，与E 一样，PROB(F )=1/13。这个结果还是满足A是第二张牌的可能为1/13这一直观感受。

现在来计算PROB(F |E )。在E 的204个点中，第二张牌也为A（也就是点也在F 中）的情况有12个。也就是说，E 中的所有点都表示A为第一张牌的情况。选择A的方式共有4种，对应4种花色的选择。在每种选择中，第二张牌也为A的选择都有3种。因此，根据4.4节介绍的技巧，有序选择两张A的情况共有4×3=12种。

张家口微信公众号开发【张家口网络推广】张家口建站、张家口网站维护、张家口网页制作、张家口微信小程序代运营公司