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沧州市，河北省地级市，地处河北省东南部、河北平原东部的黑龙港流域，位于北纬37°29′～38°57′，东经115°42′～117°50′之间。东部滨临渤海，北部与天津、廊坊接壤，西部及西南部与保定、衡水毗邻，南隔漳卫新河与山东省的滨州、德州相望。

沧州市因濒临渤海而得名，市中心北距天津市120千米、北京市240千米，西南距省会石家庄220千米。沧州市辖2个市辖区，4个县级市，10个县及沧州渤海新区、沧州经济开发区、沧州高新技术产业开发区，总面积1.4万平方公里。 [1-3] 

2020年10月，入选河北省第一批新型智慧城市建设试点名单。

因此我们需要T1(n)+T2(n)+T3(n)的上界，从而得出整个程序的运行时间。

因为常数1显然是O(n2)，所以可以应用求和规则得出T1(n)+T2(n)是O(n2)。因为n是O(n2)，就可以对(T1(n)+T2(n))和T3(n)应用求和规则，从而得出T1(n)+T2(n)+T3(n)是O(n2)。也就是说，图3-7所示的整个程序段的运行时间是O(n2)。通俗地讲，就是整个程序几乎将所有的运行时间都花在了第(2)行至第(4)行的循环上，正如我们从以下事实中很容易就能想到的：对于很大的n，矩阵的面积n2要比由n个单元组成的对角线大得多。

示例3.9应用了“低阶项不产生影响”这条规则，因为我们舍弃了1和n这两项比n2次数更低的多项式。不过，求和规则不仅仅能让我们舍弃低阶项。如果有任意多个相同的大O常数项，比如有一列10个赋值语句，每个赋值语句所花的时间都是O(1)，那么就可以将这10个O(1)“加起来”，得到O(1)。不那么严格地讲就是，10个常数的和还是个常数。要知道原因，请注意1是O(1)，所以10个O(1)中任何一个都可以“被加到”其他任意一个O(1)上，从而得出O(1)这个结果。我们可以不断合并项，直到只剩下O(1)为止。

不过，必须要小心，不要把某个像O(1)这样的“常数”项，与这些随输入大小变化的项弄混了。例如，我们有可能错误地认为，每进行一次图3-7中第(5)行和第(6)行所示的循环，花的时间为O(1)，而该循环总共循环了n次，所以第(5)行和第(6)行的总运行时间就是O(1)+O(1)+O(1)+…+(n个O(1))，而求和规则告诉我们两个O(1)的和也是O(1)，这样，根据归纳法就可以得出结论：任意多个O(1)的和都是O(1)。但是，在这个程序中，n不是常数，它会因输入大小而异。因此，我们没法通过多次应用求和规则推断出n个O(1)具有任何特殊的值。当然，如果真要考虑这个问题，那么我们知道n个c 的和（其中c 是某个常数）是cn，该函数的大O 形式是O(n)，而这就是第(5)行和第(6)行真正的运行时间。

3.5.6　不相称函数

任意两个函数f (n)和g(n)可由大O相比较。也就是说，要么f (n)是O(g(n))，要么g(n)是O(f (n))。或者二者互为对方的大O，因为我们看到过，2n2和n2+3n这两个函数就是这种互为大O的关系。这种情况是很不错的。不过不巧的是，也有一些不相称的函数对，它们之间不存在任何大O关系。

示例 3.10

考虑如下函数

也就是，f(1)=1，f(2)=4，f(3)=3，f(4)=16，f(5)=5，等等。类似地，假设有函数

那么f(n)不可能是O(g(n))，因为那些偶数n。因为如我们在3.4节中看到的，n2绝对不是O(n)。类似地，g(n)也不可能是O(f(n))，因为那些奇数n，当n为奇数时，g的值比f 的值增长得更快。

3.5.7　习题

1. 证明如下命题。

(a) 如果a≤b，那么na是O(nb)。

(b) 如果a>b，那么na不是O(nb)。

(c) 如果1< a≤b，那么an是O(bn)。

(d) 如果1< b< a，那么an不是O(bn)。

(e) 对任意a和任意b>1，na是O(bn)。

(f) 对任意b和任意a>1，an是O(nb)。

(g) 对任意a和任意b>0，(logn)a是O(nb)。

(h) 对任意b和任意a>0，na不是O((logn)b)。

2. 证明：f(n)+g(n)是O(max(f(n),g(n)))。

3. 假设T(n)是O(f(n))，且g(n)是某个值不为负的函数。证明：g(n)T(n)是O(g(n)f(n))。

4. 假设S(n)是O(f(n))，且f(n)是O(g(n))，而且这些函数对任意n都不为负值。证明：S(n)T(n)是O(f(n)g(n))。

5. 假设f(n)是O(g(n))。证明：max(f(n),g(n))是O(g(n))。

6. * 证明：如果f1(n)和f2(n)都是某个函数T(n)的紧边界，那么f1(n)和f2(n)互为对方的大O。

7. *证明：对于图3-6所示的函数f(n)，log2n不是O(f(n))。

8. 在图3-7所示的程序中，通过先在矩阵中每个位置放上0，然后在对角线上放上1，我们创建了一个单位矩阵。将第(4)行的测试改为询问是否有i=j，如果是，则在A[i][j]中放上1，如果不是，则放上0，这样修改后似乎能更快地完成这一工作。然后我们还可以删除第(5)行和第(6)行。

(a) 写出这一程序。

(b) * 考虑图3-7中的程序以及自己为问题(a)编写的程序。作出示例3.1中那样的简化假设，计算两个程序分别耗费了多少个时间单位。哪个程序更快？用不同大小的二维数组运行这两个程序，并绘制它们的运行时间曲线。

3.6　分析程序的运行时间

掌握了大O的概念，以及3.4节和3.5节中介绍的那些处理大O表达式的规则之后，我们将要学习如何获得常见程序运行时间的大O上界。只要有可能，我们将只考虑那些不含函数调用（除了诸如printf那样的库函数）的程序，将含有函数调用的问题留待3.8节及以后的内容中介绍。

我们不指望能够分析任意程序，因为有关运行时间的问题可能是非常难的数学问题。另一方面，只要了解一些简单的规则，我们就能够计算出实践中遇到的多数程序的运行时间。

3.6.1　简单语句的运行时间

这里要求读者接受这样一个原则，即某些对数据的简单操作可以在O(1)时间内完成，也就是说，这个时间是和输入大小无关的。C语言中的这些基本操作包括：

1. 算术运算（比如+或%）；

2. 逻辑运算（比如&&）；

3. 比较运算（比如<=）；

4. 结构体存取操作（比如A[i]这样的数组索引，或者跟在指针后的->运算符）；

5. 简单的赋值（比如将某个值复制到某个变量中）；

6. 对库函数（比如scanf、printf）的调用。

对这一原则的验证需要对常见计算机的机器指令（初始步骤）进行详细研究。我们很容易看出，之前描述的每种操作都只需要少量机器指令便可完成，通常只需要1条或2条指令。

因此，在C语言中有好几种语句都能在O(1)时间内执行完，也就是说，可以在与输入无关的某个时间段内执行完。这些简单语句包括：

1. 表达式中不涉及函数调用的赋值语句；

2. 读语句；

3. 不需要调用函数确定参数值的写语句；

4. 跳转语句break、continue、goto和return表达式，其中表达式不含函数调用。

在第(1)到第(3)条中，这些语句都是由有限数量的基本操作构成的，每个操作花的时间都是O(1)。由求和规则可知，整个语句花的时间是O(1)。当然，语句对应的时间常数要比单个操作对应的常数大，不过我们已经知道，无论如何也不能将具体的常数与C语言语句的运行时间关联起来。

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