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沧州市，河北省地级市，地处河北省东南部、河北平原东部的黑龙港流域，位于北纬37°29′～38°57′，东经115°42′～117°50′之间。东部滨临渤海，北部与天津、廊坊接壤，西部及西南部与保定、衡水毗邻，南隔漳卫新河与山东省的滨州、德州相望。

沧州市因濒临渤海而得名，市中心北距天津市120千米、北京市240千米，西南距省会石家庄220千米。沧州市辖2个市辖区，4个县级市，10个县及沧州渤海新区、沧州经济开发区、沧州高新技术产业开发区，总面积1.4万平方公里。 [1-3] 

2020年10月，入选河北省第一批新型智慧城市建设试点名单。

3.4.2　证明大O关系

可以应用“大O”的定义证明对特定的函数T和f，T(n)就是O(f(n))。我们会通过选择特定的证物n0和c，接着证明T(n)≤cf(n)，从而完成这一证明。证明过程必须假设n是非负整数，且不小于我们选择的n0。通常，证明过程涉及一些代数和不等式的变换。

示例 3.2

假设有某个程序，其运行时间为T(0)=1，T(1)=4，T(2)=9，一般表示为T(n)=(n+1)2。我们就可以说T(n)是O(n2)，或者说T(n)是二次幂的，因为可以选择证物n0=1和c=4。然后需要证明(n+1)2≤4n2，其中有n≥1。在证明过程中，我们将表达式(n+1)2展开为n2+2n+1。只要n≥1，我们就知道有n≤n2而且有1≤n2。因此

n2+2n+1≤n2+2n2+n2=4n2

此外，也可以选择证物n0=3和c=2，因为，正如大家可以验证的，对所有的n≥3，都有(n+1)2≤2n2。

不过，不能选择n0=0，因为若n0=0，那么对n=0，我们可以证明(0+1)2≤c 02，也就是有1小于等于c 乘以0。因为不管选择什么c，都有c×0=0，而1≤0是不成立的，所以如果我们选择n0=0就玩完了。不过没关系，因为要证明(n+1)2是O(n2)，所以只要找出一组可行的证物n0和c 就行了。

大O证明的模版

请记住：所有的大O证明基本遵循相同的形式，只有代数变换是各异的。要证明T(n)就是O(f(n))，要做的只有下面两件事。

1. 说明证物n0和c。这些证物必须是特定的常数，比如n0=47和c=12.5。还有，n0必须是非负整数，而c 必须是正实数。

2. 通过适当的代数变换，证明对所选择的特定证物n0和c，如果n≥n0，则有T(n)≤cf(n)。

这可能看起来有些奇怪，虽然(n+1)2大于n2，但是我们还是说(n+1)2是O(n2)。其实，也可以说(n+1)2是任意分之n2的大O，例如O(n2/100)。要看看原因的话，选择证物n0=1和c=400。那么如果n≥1，由与示例3.2中一样的推导可知

(n+1)2≤400(n2/100)=4n2

这些现象背后的基本原则如下。

1. 常数因子不产生影响。对于任意正值常数d 和任意函数T(n)，T(n)是O(dT(n))，不论d 是很大的数，还是很小的分数，只要d>0即可。要知道为什么，可以选择证物n0=0和c=1/d。3那么就有T(n)≤c(dT(n))，因为cd=1。类似地，若已知T(n)是O(f (n))，便也知道对任何的d>0，有T(n)是O(df (n))，即便d 很小。因为我们知道，对某个常数c1和所有的n≥n0，有T(n)≤c1f (n)。如果选择c=c1/d，那么就可以看到，对n≥n0，有T(n)≤c(df(n))。

3请注意，虽然要求选择常数而不是函数作为证物，但选择c=1/d 是没有错的，因为d 本身也是个常数。

2. 低阶项不产生影响。假设T(n)是形如

aknk+ak-1nk-1+…+a2n2+a1n+a0

的多项式，其中开头的系数ak为正数。然后我们可以扔掉除第一项（就是具有最高指数k的那项）之外的所有项，并利用规则(1)，忽略常数ak，直接用1代替它。也就是说，我们可以得出T(n)就是O(nk)。为了证明这一点，设n0=1，并设c是各系数ai中所有正系数的和，其中0≤i≤k。如果系数aj 是0或负数，那么肯定有ajn j≤0。如果aj 为正，那么对所有的j< k，只要n≥1，都有ajn j≤aknk。因此T(n)不大于nk乘以所有正系数之和，或者说是T(n)≤cnk。

关于大O的谬论

对“大O”的定义是很诡异的，在该定义中，在检查完T(n)和f (n)后，我们要一次性选择证物n0和c，接着证明对所有的n≥n0，都有T(n)≤cf (n)。不能为每个n值重新选择c 和（或）n0。例如，大家可能偶尔会看到如下证明n2为O(n)的谬误“证明”。“选择n0=0，并为每个n 选择c=n。然后有n2≤cn。”这种论述是无效的，因为我们要求在不知道n 的情况下一次性选定c。

示例 3.3

作为规则(1)（“常数因子不产生影响”）的例子，我们看到2n3是O(0.001n3)。令n0=0，而且c=2/0.001=2000。那么显然有，对所有的n≥0，2n3≤2000(0.001n3)=2n3。

作为规则(2)（“低阶项不产生影响”）的例子，考虑多项式T(n)=3n5+10n4-4n3+n+1。最高位的项是n5，我们就说T(n)是O(n5)。要验证该说法，令n0=1，c等于所有正系数的和。正系数的项包含指数为5、4、1和0的这些项，其系数分别为3、10、1和1。因此，令c=15。我们可以说，对n≥1，有

3n5+10n4-4n3+n+1≤3n5+10n5+n5+n5=15n5　　　　　　(3.1)

我们可以通过对正系数项的匹配来验证不等式(3.1)，也就是，3n5≤3n5，10n4≤10n5，n≤n5，以及1≤n5。而且，因为-4n3≤0（之前假设n为正数），所以可以忽略不等式(3.1)左边的负系数项。因此，不等式(3.1)的左边，也就是T(n)，要小于等于不等式的右边，也就是15n5，或者说是cn5。由此可以得出T(n)是O(n5)的结论。

其实，低阶项可以删除的原则不仅适用于多项式，而且适用于任何表达式之和。也就是说，如果随着n趋近无穷大，h(n)/g(n)的比值趋近于0，则可以说h(n)比g(n)“增长得慢”，或者说h(n)的“增长率低于”g(n)，这样就可以忽略h(n)。也就是说h(n)+g(n)是O(g(n))。

例如，设T(n)=2n+n3。众所周知，多项式（比如n3）要比指数式（比如2n）增长得慢。因为随着n的增大，n3/2n趋近于0，所以我们可以扔掉低阶项，并得出T(n)是O(2n)的结论。

要正式地证明2n+n3是O(2n)，令n0=10，c=2。必须证明，对n≥10，有

2n+n3≤2×2n

如果从两边都减去2n，就会发现这是要证明对n≥10，有n3≤2n。

对n=10，我们有210=1024。而103=1000，因此对n=10，有n3≤2n。n每增加1，2n就会翻倍，而n3则是会乘以(n+1)3/n3这个量，而当n≥10时，这个量是小于2的。因此，随着n的增大，n3会逐步小于2n。我们可以得出结论：对n≥10，有n3≤2n，因此有2n+n3是O(2n)。

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