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发表日期: 2021-03-27 16:12:09 浏览次数:12

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祁东县,隶属湖南省衡阳市,地处衡阳市西南部、湘江中游北岸,东西狭长,北高南低,总面积1872平方千米。 [1]  截至2020年6月,祁东县下辖4个街道、17个镇、3个乡。 [2]  共368个行政村(社区居委会),总人口105.8万。

祁东县,因县城在祁山之东而得名。古为扬越之地,春秋时属楚国。祁东境内祁剧为全国优秀剧种之一。明朝重臣宁良、陈荐,清廷尚书陈大受,红军将领王如痴,革命志士曹炎,画家管锄非等都孕育于此。当前有祁东籍将军14人,两院院士2人,省部级领导7人,司级领导78人,处级领导1300多人。

湘桂铁路、娄底—衡阳高速公路、泉州—南宁高速公路、祁永高速穿过祁东境内,另有祁东港归阳港区。 [1]  祁东县是“中国黄花之乡”、“将军之乡”、“黑色金属之乡”、“中国曲艺之乡”、“省级文明县城”、“全省城乡环境卫生十佳县”。2018年4月23日,湖南省政府批准祁东县退出贫困县序列。


2.3.3 习题

1. 通过对nn=1起进行归纳,证明以下公式。

(a) \sum^{n}_{i=1}i=n(n+1)/2

(b) \sum^{n}_{i=1}i^2=n(n+1)(2n+1)/6

(c) \sum^{n}_{i=1}i^3=n^2(n+1)^2/4

(d) \sum^{n}_{i=1}1/i(i+1)=n/(n+1)

2. 形如 tn=n(n+1)/2的数字称为三角形数,因为将弹珠排列成等边三角形,每条边上排n个,那么弹珠的总数就是\sum^{n}_{i=1}i,而从我们在习题(1)中证明的结论可知这是tn个弹珠。例如,保龄球瓶排列成每条边上有4个球瓶的等边三角形,共有t4=4×5/2=10个保龄球瓶。用归纳法证明\sum^{n}_{i=1}t_j=n(n+1)(n+2)/6

3. 判断以下位序列的奇偶校验是偶校验还是奇校验。

(a) 01101

(b) 111000111

(c) 010101

4. 假设我们用3个数字,比如0、1和2,来为符号编码。由0、1和2组成的位串集合C 中,如果任意两个位串不只有一个位置不同,那么这个集合就是检错的。例如,{00,11,22}就是长度为2的位串的检错集合。证明对任意的n≥1,使用数字0、1和2组成的长度为n 的位串的检错集合最多只有3n-1个位串。

5. * 证明:对任意的n≥1,存在使用0、1和2三个数字组成的长度为n 的位串的检错集合,其中含有3n-1个位串。

6. * 证明:如果使用k 个符号,对任意的k≥2,都有使用k个不同符号作为“数字”并且长度为n 的位串的检错集合,其中具有kn-1个位串,但这样的位串集合肯定不可能含有超过kn-1个位串。

7. * 如果n≥1,则使用0、1和2这三个数字组成的位串中,连续位置完全不具相同数字的位串共有3×2n-1个。例如,长度为3的此类位串共有:010、012、020、021、101、102、120、121、201、202、210和212。通过对位串的长度进行归纳来证明该结论。这个公式对n=0来说是否为真?

8. * 证明:1.3节中讨论过的行波进位加法算法能产生正确的答案。提示:通过对i 的归纳证明,考虑从右端起的i 位,两个加数后i 位的和,其二进制形式为进位位后跟上目前为止所生成的i 位结果。

9. * 含n个项的几何级数aar2ar3,…, arn-1的和公式是

\sum^{n-1}_{i=0}ar^i=\frac{(ar^n-a)}{(r-1)}

通过对n 的归纳来证明该公式。请注意,要让公式成立,必须假设r ≠1。在证明过程中会在哪里用到这一假设呢?

10. 第一项为a,公差为b的算术级数a, (a+b), (a+2b), …, (a+(n-1)b)的求和公式为

\sum^{n-1}_{i=0}a+bi=n(2a+(n-1)b)/2

(a) 通过对n 的归纳证明该公式。

(b) 证明习题1中的(a)也是该公式的一例。

11. 给出两段非正式的证明,表明虽然命题S(0)为假,但归纳可以从1开始“起效”。

12. 通过对位串长度的归纳证明,由奇校验位串构成的代码也可以检错。

13. ** 如果某种编码中任意两个位串不同的位置不少于3位,那么我们就可以通过找出该编码中与接收到的位串仅有一位不同的唯一位串,纠正单个错误。事实证明,有一种针对7位位串的编码,它可以纠正单个错误并含有16个位串。试着找出这种编码。提示:推理出来可能是最佳方法,不过如果推理失败,可以写程序来搜索这样的编码。

14. * 偶校验码可否检出“双重错误”,也就是两个不同位上的改变?它能否纠正单个错误?

算术和与几何和

高中代数中的两个公式我们会经常用到。它们都有着有趣的归纳证明,也就是我们在习题(9)和习题(10)中让读者证明的。

算术级数(即等差数列)是一列具有以下形式的n个数字。

a, (a+b), (a+2b), …, (a+(n-1)b)

第一项为a,而每一项都要比前一项大b。这n个数字的和,就是第一项和最后一项的平均数的n 倍,也就是

\sum^{n-1}_{i=0}a+bi=n(2a+(n-1)b)/2

例如,考虑一下3+5+7+9+11的和。总共有n=5项,第一项为3,最后一项为11。因此,这个和就是5×(3+11)/2=5×7=35。可以把这5个数加起来,来证明这个和是正确的。

几何级数(即等比数列)是一列具有如下形式的n个数字。

a,ar,ar2,ar3,…,arn-1

也就是说,第一项为a,而每一项都是前一项的r倍。n项几何级数的和公式是

\sum^{n-1}_{i=0}ar^i=\frac{(ar^n-a)}{(r-1)}

在这里,r可以大于1,也可以小于1。如果r=1的话,以上公式就不可用了,不过所有项都是a,其和也很明显,就是an

作为几何级数求和的例子,考虑一下1+2+4+8+16。这时n=5,第一项a就是1,而公比r=2,因此这个和就是

(1×25-1)/(2-1)=(32-1)/1=31

再举一个大家可以验证的例子,考虑1+1/2+1/4+1/8+1/16。还是n=5而且a=1,不过r=1/2,这个和就是

(1\times(\frac{1}{2})^5-1)/(\frac{1}{2}-1)=(-31/32)/(-1/2)=1\frac{15}{16}

 

简单归纳的模板

我们对2.3节进行总结,给出适用于该节中归纳证明过程的简单模板。2.4节中将介绍更为通用的模板。

1. 指定待证明的命题S(n)。表明自己要通过对n的归纳,对所有ni0,证明S(n)。这里的i 0是作为归纳依据的常数,通常i 0是0或1,不过它也可以是任意整数。直观地解释n 的含义,比如,n 是码字的长度。

2. 陈述依据情况,S(i0)。

3. 证明依据情况,也就是解释S(i0)为何为真。

4. 陈述对某些ni0,假设有S(n),也就是陈述“归纳假设”,建立归纳步骤。用n+1替换命题S(n)中的n来表示S(n+1)。

5. 假定归纳假设S(n)为真,证明S(n+1)。

6. 得出S(n)对所有ni0都(但对更小的n不一定)为真结论。

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