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祁东县，隶属湖南省衡阳市，地处衡阳市西南部、湘江中游北岸，东西狭长，北高南低，总面积1872平方千米。 [1]  截至2020年6月，祁东县下辖4个街道、17个镇、3个乡。 [2]  共368个行政村（社区居委会），总人口105.8万。

祁东县，因县城在祁山之东而得名。古为扬越之地，春秋时属楚国。祁东境内祁剧为全国优秀剧种之一。明朝重臣宁良、陈荐，清廷尚书陈大受，红军将领王如痴，革命志士曹炎，画家管锄非等都孕育于此。当前有祁东籍将军14人，两院院士2人，省部级领导7人，司级领导78人，处级领导1300多人。

湘桂铁路、娄底—衡阳高速公路、泉州—南宁高速公路、祁永高速穿过祁东境内，另有祁东港归阳港区。 [1]  祁东县是“中国黄花之乡”、“将军之乡”、“黑色金属之乡”、“中国曲艺之乡”、“省级文明县城”、“全省城乡环境卫生十佳县”。2018年4月23日，湖南省政府批准祁东县退出贫困县序列。

2.7　递归函数

递归函数是那些在自己的函数体中被调用的函数。这种调用通常是直接的，例如，函数F在它自己中包含对F的调用。不过，有时候这种调用也会是间接的，比如，某函数F1直接调用函数F2，F2又直接调用F3，等等，直到该调用链中的函数Fk调用F1。

人们通常有这样一种看法，就是学习迭代编程，或者说使用非递归的函数调用，要比学习递归编程更容易。诚然，我们不能完全否定这种观点，但我们相信，只要大家有机会对递归编程加以练习，那么它其实也是很简单的。递归程序往往比等效的的迭代程序更简洁且更易于理解。更重要的是，比起迭代程序，某些问题更容易被递归程序击破。9

9这样的问题往往涉及某种查找。例如，在第5章中我们会看到一些查找树的递归算法，这些算法没有方便的迭代模拟（虽然也存在使用栈的等价迭代算法）。

说几句实在话

使用递归存在潜在的缺点，即在某些计算机上对函数的调用会非常费时，因而与解决同样问题的迭代程序相比，递归程序可能会耗时更多。不过，在很多现代化的计算机上，函数调用是非常高效的，所以反对使用递归程序的这一理由已变得不那么重要。

即便是在函数调用机制较慢的计算机上，人们也可以对程序进行剖析，看看程序的各个部分分别花了多少时间。然后就可以重新编写程序中占用大部分运行时间的部分，如有必要就用迭代替代递归。这样一来，除了速度是最关键因素的一小部分代码之外，程序的大半部分都能利用递归。

通常可以通过模仿待实现程序的规范中的递归定义，来设计递归算法。实现递归定义的递归函数将含有一个依据部分与一个归案部分。依据部分一般会检查可由定义的依据解决的简单输入（不需要递归调用）。函数的归纳部分则需要一次或多次对其本身进行递归调用，并实现定义的归纳部分。下面的例子应该能说明这几点。

示例 2.21

图2-19给出了计算某个非负整数n 的阶乘值n!的递归函数。该函数直接转换了示例2.15中对n!的递归定义。也就是说，图2-19的第(1)行依据情况与归纳情况进行了区分。我们假设n≥1，所以第(1)行的测试其实就是在问是否有n=1。如果是，我们就在第(2)行应用依据规则，得到1!=1。如果n>1，就在第(3)行应用归纳规则n!=n×(n-1)!。

           int fact(int n)
           {(1)            if (n <= 1)(2)                return 1; /* 依据 */
               else(3)                return n*fact(n-1); /* 归纳 */
           }复制代码

图 2-19　计算n≥1时n!的递归函数

例如，如果我们调用fact(4)，结果就会调用fact(3)，然后调用fact(2)，再调用fact(1)。至此，fact(1)会应用依据规则，因为这里有n≤1，并为fact(2)返回值1。这次对fact的调用在第(3)行完成，返回2给fact(3)。接着，fact(3)返回6给fact(4)，而fact(4)最后会在第(3)行返回24作为答案。图2-20表示了这些调用和返回的模式。

调用 ↓                                               ↑ 返回 24
    fact(4)                                            fact(4)
     调用 ↓                                  ↑ 返回 6
         fact(3)                               fact(3)
          调用 ↓                       ↑ 返回 2
               fact(2)                   fact(2)
                调用 ↓     ↑ 返回 1
                      fact(1)复制代码

图 2-20　调用fact(4)所带来的调用和返回

防御性程序设计

图2-19中的程序说明了很重要的一点，即编写递归程序时要注意不让它们陷入无限的调用。我们可能暗自假设不会以小于1的参数来调用fact。当然，最好的做法是在调用fact之前测试是否有n≥1，如果n不满足这个条件就打印错误消息并返回某个特定的值（比如0）。不过，即便我们坚信不会以小于1的n来调用fact，也还是要明智一些，在依据情况中包含所有的“错误情况”。这样一来，以错误的输入调用函数fact会直接返回值1，虽然这是不对的，但不至于造成程序出错（其实，对n=0来说，结果为1也是对的，因为0的阶乘等于1）。

然而，假如忽略掉错误情况，并将图2-19的第(1)行写成

if(n == 1)复制代码

那么如果调用了fact(0)，它就会被看作递归情况的实例，并会接着调用fact(-1)、fact(-2)，等等，直到计算机用尽记录递归调用的空间才会出错终止。

我们可以像绘制归纳证明和归纳定义的图那样绘出递归图。在图2-21中，假设存在递归函数的参数“大小”这样一个概念。例如，对示例2.21中的fact函数而言，参数n 的值就具有合适的大小。我们将在2.9节中介绍更多与这种大小有关的内容。不过，在这里要注意的是，递归调用只会调用大小更小的参数。还有，在到达某特定大小时（比如在图2-21中就是大小为0），就必须达到依据情况，也就是必须终止递归。

图 2-21　递归函数只调用具有更小的参数的本身

在fact函数的例子中，调用过程不像图2-21所示那样具有一般性。调用fact(n)会导致对fact(n-1)的直接调用，但fact(n)不会直接调用其他具有更小参数的fact。

示例 2.22

如果将底层算法表示为如下形式，就可以将图2-2中的SelectionSort函数变成递归函数recSS。此处假设要排序的数据是在数组A[0..n-1]中。

1. 从数组A的尾部，也就是从A[i..n-1]中，选出最小的元素。

2. 将步骤(1)中选出的元素与A[i]互换。

3. 将剩下的数组A[i+1..n-1]进行排序。

我们可用如下递归算法表示选择排序。

依据。如果i=n-1，那么数组中只有一个元素需要排序。因为任意一个元素都是已排序的，所以我们什么都不用做。

归纳。如果i<n-1，那么要找出A[i..n-1]中最小的元素，将其与A[i]互换，并递归地将A[i+1..n-1]进行排序。

整个算法是从i=0开始执行以上递归的。

如果将i 视作上述归纳中的归纳参数，那么它就是逆向归纳（backward induction）的例子。我们从参数最大的依据开始，通过归纳规则，用较大参数的实例去解决较小参数的实例，这是种特别好的归纳风格，虽然我们之前并未提及它的可能性。不过，还可以将上述归纳视为普通的，或是说“正向”归纳，只要将数组尾部待排序元素的数目k=n-i 作为归纳参数即可。

在图2-22中，我们看到了recSS(A,i,n)程序。其第二个参数i是数组A未排序部分第一个元素的下标，第三个参数n是数组A中待排序元素的总数。不难看出，n是小于等于数组A的最大大小的。因此，调用recSS(A,0,n)会为整个数组A[0..n-1]排序。

     void recSS(int A[], int i, int n)
     {
         int j, small, temp;(1)      if (i < n-1) {/* 依据是i = n-1，在这种情况下，
                 该函数会返回而不改变 */
                 /* 归纳如下 */(2)              small = i;(3)              for (j = i+1; j < n; j++)(4)                  if (A[j] < A[small])(5)                      small = j;(6)              temp = A[small];(7)              A[small] = A[i];(8)              A[i] = temp;(9)              recSS(A, i+1, n);
             }
     }复制代码

图 2-22　递归的选择排序

就图2-21而言，s=n-i对recSS函数的参数来说是合适的“大小”概念。依据情况是s=1，也就是为一个元素排序，不需要发生递归调用。归纳步骤就讲述了如何通过选出最小元素并排序剩下的s-1个元素来为s 个元素排序。

在第(1)行，我们会测试依据情况，就是只有一个元素需要排序的情况（这里我们再次进行了防御性编程，这样一来，就算在调用时有i ≥n，也不会造成无限的调用）。在该依据情况中，我们无事可做，所以直接返回。

函数其余部分是归纳情况。第(2)至(8)行直接照搬了递归选择排序程序中的内容。就像那个程序那样，这几行会将数组A[i..n-1]最小元素的下标赋值给small，并将该元素与A[i]互换。最后，第(9)行是递归调用，会排序数组其余部分。

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