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发表日期: 2021-03-27 16:15:31 浏览次数:10

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祁东县,隶属湖南省衡阳市,地处衡阳市西南部、湘江中游北岸,东西狭长,北高南低,总面积1872平方千米。 [1]  截至2020年6月,祁东县下辖4个街道、17个镇、3个乡。 [2]  共368个行政村(社区居委会),总人口105.8万。

祁东县,因县城在祁山之东而得名。古为扬越之地,春秋时属楚国。祁东境内祁剧为全国优秀剧种之一。明朝重臣宁良、陈荐,清廷尚书陈大受,红军将领王如痴,革命志士曹炎,画家管锄非等都孕育于此。当前有祁东籍将军14人,两院院士2人,省部级领导7人,司级领导78人,处级领导1300多人。

湘桂铁路、娄底—衡阳高速公路、泉州—南宁高速公路、祁永高速穿过祁东境内,另有祁东港归阳港区。 [1]  祁东县是“中国黄花之乡”、“将军之乡”、“黑色金属之乡”、“中国曲艺之乡”、“省级文明县城”、“全省城乡环境卫生十佳县”。2018年4月23日,湖南省政府批准祁东县退出贫困县序列。

示例 2.9

示例2.8中的归纳证明直接引出了一种将表达式转换成所需形式的算法。考虑如下表达式作为例子:

E=(x+(z+v))+(w+y)

假设v 是我们希望“拉出来”的那个操作数,也就是扮演示例2.8的变形中a的那个角色。一开始,我们介绍一个符合情况(b)的例子,其中E1=x+(z+v ),而E2=w+y

接着,必须对表达式E1进行处理,从而将v“拉出来”。E1符合情况(d),因此我们先用交换律将其变形为(z+v )+x。作为情况(b)的实例,必须对表达式z+v(情况(c)的实例)加以处理,因此要通过交换律将其变形为v+z

现在E1被变形为(v+z)+x,接着使用结合律将其变形成v+(z+x),也就是将E 变形成了(v+(z+x))+(w+y)。通过结合律,可把E 变形为(v+(z+x))+(w+y)。因此,E+v+F,其中F 就是表达式(z+x)+(w+y)。图2-8总结了整个变形过程。

\begin{matrix}\bigl(x+(z+v)\bigr)+(w+y)\\\bigl((z+v)+x\bigr)+(w+y)\\\bigl((v+z)+x\bigr)+(w+y)\\\bigl(v+(z+x)\bigr)+(w+y)\\v+\bigl((z+x)+(w+y)\bigr)\end{matrix}

图 2-8 使用交换律和结合律,可以将任意操作数(比如v)“拉出来”

现在,可以使用示例2.8中证明过的命题来证明我们的原始论点,也就是说任意两个只涉及+运算符与同一些不同操作数的表达式,都可以通过结合律和交换律相互变形。这里是用2.3节中讨论的弱归纳证明的,没有使用完全归纳。

示例 2.10

让我们通过对表达式中操作数的个数n 的归纳证明以下命题。

命题T(n)。如果E 和F 是只含+运算符以及同一组n个不同操作数的表达式,那么可以通过多次应用结合律和交换律将E 变形为F

依据。如果n=1,那么两个表达式肯定都只有一个操作数a。因为E 和F 是相同的表达式,所以E 确实“可变形为”F

归纳。假设T(n)对某些n≥1为真,现在要证明T(n+1)为真。设E 和F 是具有同一组n+1个操作数的表达式,由于n+1≥2,那么示例2.8中的命题S(n+1)必然成立。因此,我们可将E 变形为a+E1,其中E1是含有E 中其他n个操作数的表达式。类似地,可以将F 变形为a+F1,其中F1E1含有相同的n个操作数。更重要的是,在这种情况下,我们还可以进行逆向的变形,使用结合律和交换律将a+F1变形为F

现在可以对E1F1援引归纳假设T(n)。这两个表达式具有相同的n个操作数,因此归纳假设可以应用。这就是说我们可将E1变形为F1,所以可将a+E1变形为a+F1。因此我们可以通过如下变形

E → … →a + E1  使用 S(n)
  → … →a + F1  使用 T(n)
     → … →F      逆向使用 S(n+1)

E 变形为F

示例 2.11

让我们将E=(x+y)+(w+z)变形为F=((w+z)+y)+x。先选择一个要“拉出来”的操作数,比如说是w。如果审视示例2.8中的情况,就会发现我们对E进行了一系列变形

(x+y)+(w+z)→(w+z)+(x+y)→w+(z+(x+y))      (2.7)

而对F 进行了如下变形

((w+z)+y)+x→(w+(z+y))+xw+((z+y)+x)      (2.8)

现在有了将z+(x+y)变形为(z+y)+x 的子问题。我们要通过将x“拉出来”来解决这一问题,需要进行的变形是

z+(x+y)→(x+y)+zx+(y+z)      (2.9)

(z+y)+xx+(z+y)      (2.10)

这又带来了将y+z 变形为z+y 的子问题,只要应用交换律便可解决该问题。严格地说,我们使用了示例2.8的技术,“拉出”了每个表达式中的y,为每个表达式留下y+z。然后示例2.10中的依据情况告诉我们,表达式z可以“变形为”它本身。

通过行(2.9)中的步骤,可以将z+(x+y)变形为(z+y)+x,接着对子表达式y+z 应用交换律,最后再反向使用行(2.10)中的变形。我们把这些变形当作将(x+y)+(w+z) 变形为((w+z)+y)+x 的中间过程。首先要应用行(2.7)中的变形,接着用刚讨论的变形将z+(x+y)变形为(z+y)+x,最后再反向使用行(2.8)中的变形。整个变形过程可概括为图2-9所示的情况。

(x y) (w z)    表达式E
(w+z)+(x+y)    (2.7)的中间形式
w+(z+(x+y))    (2.7)的最终形式
w+((x+y)+z)    (2.9)的中间形式
w+(x+(y+z))    (2.9)的最终形式
w+(x+(z+y))    交换律
w+((z+y)+x)    反向使用(2.10)
(w+(z+y))+x    反向使用(2.8)的中间形式
((w+z)+y)+x    表达式F,反向使用(2.8)的最终形式

图 2-9 使用交换律和结合律将一个表达式变形为另一个表达式

2.4.4 习题

所有归纳推理的模板

以下形式的归纳证明,涵盖了具有多个依据情况的完全归纳。它还将2.3节中介绍的弱归纳作为一种特例包含其中,并包含了只有一个依据情况的一般情况。

1. 指定要证明的命题S(n)。声明要通过对n 的归纳,证明S(n)对ni0为真。指定i0的值,通常是0或1,但也可以是其他整数。直观地解释n 表示什么。

2. 陈述依据情况(一个或多个)。这些将是从i0起到某个整数j0的所有整数。通常j0=i0,不过j0也可以是其他整数。

3. 证明各个依据情况S(i0),S(i0+1),…,S(j0)。

4. 声明假设S(i0),S(i0+1),…,S(n)为真(就是“归纳假设”),并要证明S(n+1),以此来建立归纳步骤。声明自己在假设nj0,也就是n至少要跟最大的依据情况一样大。通过用n+1替换S(n)中的n 来表示S(n+1) 。

5. 在(4)中提到的假设下证明S(n+1)。如果归纳为弱归纳而不是完全归纳,那么证明中只需要用到S(n),不过用归纳假设中的任一或全部命题都是可以的。

6. 得出S(n)对所有的ni0(但不一定对更小的n)都为真。

1. 从表达式E=(u+v)+((w+(x+y))+z)中依次“拉出”每个操作数。也就是说,从E 的每个部分开始,并使用示例2.8中的技巧将E 变形为u+E1这样的表达式。接着再将E1变形为v+E2这样的表达式,以此类推。

2. 使用示例2.10中的技巧完成以下变形。

(a) 将w+(x+(y+z))变形为((w+x)+y)+z

(b) 将(v+w)+((x+y)+z)变形为((y+w)+(v+z))+x

3. * 设E 是含+、-、*和/这几种运算符的表达式,其中每种运算符都是二元的,也就是说,这些运算符都接受两个操作数。对运算符在E 中出现的次数进行完全归纳,证明如果E 中出现n 个运算符,那么E 具有n+1个操作数。

4. 给出一个具有交换性但不具结合性的二元运算符。

5. 给出一个具有结合性但不具交换性的二元运算符。

6. * 考虑运算符全为二元运算符的表达式EE 的长度是指E 中符号的数目,将一个运算符或左边括号或右边括号记作一个符号,并将任一操作数(比如123或abc)记作一个符号。证明E 的长度肯定为奇数。提示:通过对表达式E 的长度进行完全归纳来证明该声明。

7. 证明:每个负整数都可以写成2a+3b的形式,其中a 和b 都是整数(不一定是正整数)。

8. * 证明:每个整数(正整数或负整数)都可以写为5a+7b的形式,其中a 和b 都是整数(不一定是正整数)。

9. * 弱归纳证明(如2.3节中那些)是否也是完全归纳证明?完全归纳证明是否也是弱归纳证明?

10. * 在本节中我们展示了如何通过最少反例论证来验证完全归纳。这表明了完全归纳也可通过迭代来验证。

真相大揭露

在证明程序正确的过程中,存在很多理论上和实践上的困难。一个很明显的问题是:“程序‘正确’表示什么意思?”正如我们在第1章中提到过的,多数在练习中编写的程序只满足某些非正式的规范,这些规范本身可能是不完整或不一致的。即便是存在确切的正式规范,我们也可以证明,并不存在可以证明任意的程序等同于给定规范的某个算法。

尽管存在这些困难,但陈述并证明与程序有关的断言还是有好处的。程序的循环不变式(loop invariant)通常是人们可以给出的最实用的程序工作原理的简短解释。此外,程序员在编写一段代码时,应该将循环不变式谨记心头。也就是说,程序能正常工作一定是存在某些原因的,而这个原因通常必须与程序每次进行循环或每次执行递归调用时都成立的归纳假设相关。程序员应该能设想出一个证明过程,即使行逐行把证明过程写下来可能并不现实。


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