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发表日期: 2021-03-27 16:14:01 浏览次数:11

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祁东县,隶属湖南省衡阳市,地处衡阳市西南部、湘江中游北岸,东西狭长,北高南低,总面积1872平方千米。 [1]  截至2020年6月,祁东县下辖4个街道、17个镇、3个乡。 [2]  共368个行政村(社区居委会),总人口105.8万。

祁东县,因县城在祁山之东而得名。古为扬越之地,春秋时属楚国。祁东境内祁剧为全国优秀剧种之一。明朝重臣宁良、陈荐,清廷尚书陈大受,红军将领王如痴,革命志士曹炎,画家管锄非等都孕育于此。当前有祁东籍将军14人,两院院士2人,省部级领导7人,司级领导78人,处级领导1300多人。

湘桂铁路、娄底—衡阳高速公路、泉州—南宁高速公路、祁永高速穿过祁东境内,另有祁东港归阳港区。 [1]  祁东县是“中国黄花之乡”、“将军之乡”、“黑色金属之乡”、“中国曲艺之乡”、“省级文明县城”、“全省城乡环境卫生十佳县”。2018年4月23日,湖南省政府批准祁东县退出贫困县序列。

2.4 完全归纳

目前为止所看到的例子,在证明S(n+1)为真时,都只用到了S(n)作为归纳假设。不过,由于要对参数从归纳依据开始增加的值证明命题S,我们可以对从归纳依据到n 的所有i 的值使用S(i ),这种形式的归纳叫作完全归纳(有时也称为完美归纳强归纳)。而2.3节所示的简单归纳形式,也就是只用S(n)来证明S(n+1),有时被称为弱归纳

先来考虑一下如何进行从归纳依据n=0开始的完全归纳。要通过以下两个步骤来证明S(n)对所有n≥0为真。

1. 先证明归纳依据,S(0)。

2. 假设S(0),S(1),…,S(n)全为真,作为归纳假设。从这些命题来证明S(n+1)成立。

至于在2.3节中描述的弱归纳,也可以在选择0之外再选择某个值a作为归纳依据,然后证明S(a)归纳依据。而且在归纳步骤中,可以只假定S(a),S(a+1),…S(n)为真。请注意,弱归纳是完全归纳的一个特例,应用弱归纳,我们在之前的命题中只选择S(n)来证明S(n+1)。

图2-7表示了完全归纳的原理。命题S(n)的每个实例在其证明过程中都可以使用下标比其小的任意实例。

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图 2-7 完全归纳允许每个实例在其证明过程中使用在它之前的一个、一些或是所有实例

2.4.1 使用多个依据情况进行归纳

在进行完全归纳时,拥有多个依据情况往往是很实用的。如果希望证明命题S(n)对所有ni0都为真,那么不仅可以用i0作为依据情况,而且能用一些大于i0的连续整数(假设是i0,i0+1,i0+2,…,j0 )作为依据情况。然后我们必须完成以下两步。

1. 证明每个依据情况,即命题S(i0),S(i0+1),…,S(j0)。

2. 假设对于某个nj0,S(i0),S(i0+1),…,S(n)全成立,作为归纳假设,并证明S(n+1)为真。

示例 2.7

第一个完全归纳的例子是使用多个依据情况的简单例子。正如我们将要看到的,它只是有限程度的“完全”。为了证明S(n+1),我们没有使用S(n),而只使用了S(n-1)。在更普遍的完全归纳推理中,我们要使用S(n)、S(n-1)以及命题S的很多其他实例。

下面通过对n 的归纳来对所有的 ≥ 0 证明以下命题。4

4其实,这个命题对所有的n,不论n是正整数还是负整数,都是成立的,不过n为负整数的情况需要另外进行归纳推理,我们将这个证明过程留给大家作为习题。

命题 S(n)。总是存在整数ab(正整数、负整数或0),使n=2a+3b

依据。我们同时采用0和1作为依据情况。

1. 对于n=0,可以选用a=0和b=0。显然0=2×0+3×0。

2. 对于n=1,可以选用a=-1和b=1。然后有1=2×(-1)+3×1。

归纳。现在,可对任意的n≥0,假设S(n)为真,并证明S(n+1)为真。请注意,可假设n至少是从我们已证明的依据(这里n≥1)起的连续值中最大的那个。而命题S(n+1)就是说存在某些整数a 和b,使得n+1=2a+3b

归纳假设表明S(0),S(1),…,S(n)全部为真。请注意,序列从0开始是因为它是连续依据情况的下限。因为可以假设n≥1,我们知道n-1≥1,因此S(n-1)为真。该命题就是说,存在整数a 和b,使得n+1=2a+3b

由于命题S(n+1)中需要用到a,因此这里重新声明S(n-1)使用不同名称的整数,比方说存在整数a'b',使得

n-1=2a'+3b'      (2.6)

如果给(2.6)的两边都加上2,就得到n+1=1(a'+1)+3b'。如果接着令a=a'+1,b=b',那么就存在整数a 和b,使得命题n+1=2a+3b为真。该命题就是S(n+1),所以我们已经证明了该归纳推理。请注意,在证明过程中,没有用到S(n),但用到了S(n-1)。

2.4.2 验证完全归纳

就像2.3节中讨论的普通归纳(或“弱”归纳)那样,通过“最少反例”论证,完全归纳也可以被直观地证实为一种证明技巧。令依据情况为S(i0),S(i0+1),…,S(j0),并假设已经证明了对任意的nj0S(i0),S(i0+1),…,S(n)能一起推出S(n+1)。现在,假设至少存在一个不小于i0n值使S(n)不成立,并设b是令S(b)为假的最小的不小于i0的整数。那么b就不能是i0j0之间的整数,否则与归纳依据矛盾。此外,b也不能大于j0。不然,S(i0),S(i0+1),…,S(b-1)全为真。而归纳步骤接着就会告诉我们S(b)也为真,这样就产生了矛盾。

2.4.3 算术表达式的规范形式

现在探讨将算术表达式变形为等价形式的例子。它表明完全归纳利用了可假设待证明的命题S 对所有n 以下(包含n)的参数都为真这一事实。

作为一种激励形式,编程语言的编译器可以利用算术运算符的代数形式,重新排列所计算的算术表达式中操作数的顺序。这种重排的目标是为计算机找出一种比表达式原有计算顺序耗时更少的方式来计算该表达式。

在本节中,只考虑含有一种结合和交换运算符(比如+)的算术表达式,并看看可以对操作数进行怎样的重新排列。我们将证明,如果有任意只含“+”运算符的表达式,那么该表达式的值,要与其他任何只对同样操作数使用“+”的表达式的值相等,不管以何种顺序排列及(或)以何种形式组合。例如

(a3+(a4+a1))+(a2+a5)=a1+(a2+(a3+(a4+a5)))

我们将进行两段单独的归纳推理,以证明这一说法,其中第一段归纳推理是完全归纳。

结合性和交换性

回想一下加法结合律,就是说在求三个数的和时,既可以将前两个数相加,然后加上第三个数得到结果,也可以用第一个数,加上第二个数与第三个数相加的结果,两种情况下结果是相同的。形如:

(E1+E2)+E3=E1+(E2+E3)

其中,E1E2E3都是算术表达式。例如,

(1+2)+3=1+(2+3)

这里有E1=1、E2=2,以及E3=3。还比如

((xy)+(3z-2))+(y+z)=xy+((3z-2)+(y+z))

这里有E1=xyE2=3z-2,以及E3=y+z

接着回想一下加法交换律,就是说可以将两个表达式按照任意顺序相加。形如:

E1+E2=E2+E1

例如,1+2=2+1,以及xy+(3z-2)=(3z-2)+xy

示例 2.8

我们要对n(表达式中操作数的数目)进行完全归纳,以证明命题S(n)成立。

命题 S(n)。如果E 是含有“+”运算符和n 个操作数的表达式,而a是其中一个操作数,那么可以通过使用结合律和交换律,将E 变形成a+F 的形式,其中表达式F 含有E 中除a之外的所有操作数,而且这些操作数是使用“+”运算符以某种顺序组合在一起的。

命题S(n)只对n≥2成立,因为表达式E 中至少要出现一次“+”运算符。因此,我们要使用n=2作为归纳依据。

依据。令n=2。那么E 只可能是a+bb+a,如果说a之外的那个操作数是b 的话。在a+b 中,令F 为表达式b,那么命题就成立了。而在b+a 的情况下,注意到通过使用加法交换律,b+a 可以变形为a+b,因此我们就可以再次令F=b

归纳。设E 有n+1个操作数,并假设S(i )对i=2,3,…,n 都为真。我们需要为n≥2证明该归纳步骤,所以可假设E 最少有3个操作数,也就是至少出现两次“+”运算符。可以将E 写为E1+E2,其中E1E2是某些表达式。因为E 中正好有n+1个操作数,而且E1E2都一定至少含有这些操作数中的一个,这样一来E1E2中的操作数都不能超过n 个。因此,归纳假设适用于E1E2,只要它们都不止有一个操作数(因为我们开始时将n=2作为依据)。有4种情况必须考虑:a是在E1中还是在E2中,以及a是否为E1E2中唯一的操作数。

(a) E1就是a本身。当Ea+(b+c)时,就是这种情况。这里E1就是a,而E2就是b+c。在这种情况下,E2就是F,也就是说,E 本身就已经是a+F 的形式。

(b) E1含有多个操作数,a 是其中一个。比如

E=(c+(d+a))+(b+e)

其中E1=c+(d+a),E2=b+e。这里,因为E1的操作数不超过n个,但至少达到了两个,所以可以应用归纳假设,使用交换律和结合律,将E1变形为a+E3。因此,E可以变形为(a+E3)+E2。对该式应用结合律,就能将E进一步变形为a+(E3+E2)。这样,我们就可以选择FE3+E2,这就证明了这种情况下的归纳步骤。对本例中的E,也可以假设将E1=c+(d+a)变形为a+(c+d)。那么E就可以重新分组为a+((c+d)+(b+e))。

(c) E2就是a。例如,E=b+(a+c)。这种情况下,可以用交换律将E 变形为a+E1,如果令F 为E1,这就是我们想要的形式。

(d) E2含有包括a 在内的多个操作数。比方说,E=b+(a+c),这时可以用交换律将E 变形成E2+E1,这样就成了情况(b)。如果E=b+(a+c),可将E 先变形为(a+c)+b。通过归纳假设,a+c可以转换成所需的形式,事实上,结果已经出来了。然后结合律就将E 变形为a+(c+b)。

在这4种情况中,都是将E 变形为所需的形式。因此,归纳步骤得到了证明,可以得出S(n)对所有的n≥2都为真的结论。


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